Résultat fondamental de la théorie des catégories qui identifie les éléments d'un préfaisceau en un objet avec les transformations naturelles du foncteur représentable Hom(−, A) vers ce préfaisceau, représentant ainsi les objets d'une catégorie par leurs foncteurs des points et établissant un plongement pleinement fidèle dans la catégorie des préfaisceaux.

Principe

Représentabilité et naturalité : les valeurs d'un préfaisceau F en un objet A sont en bijection canonique avec les transformations naturelles Hom(−, A) ⇒ F ; les transformations naturelles entre foncteurs représentables retrouvent les morphismes de la catégorie d'origine.

Démonstration

Dans la catégorie des ensembles, pour un objet fixé X et un préfaisceau F : C^op → Set, chaque élément x ∈ F(X) définit une transformation naturelle η_x : Hom(−, X) ⇒ F en envoyant f : Y → X sur F(f)(x) ; le lemme de Yoneda affirme que cette application est bijective et naturelle en F et X.

Mauvaise application

Utiliser une bijection point par point entre ensembles Hom et valeurs d'un préfaisceau sans tenir compte de la naturalité pour en déduire un isomorphisme d'objets, ou appliquer le lemme dans un contexte dépourvu d'ensembles de morphismes (catégorie non localement petite) ou sans tenir compte d'un enrichissement, ce qui invalide la bijection.

Conséquence

Le plongement de Yoneda A ↦ Hom(−, A) est pleinement fidèle, de sorte que les questions sur les objets et les morphismes peuvent être étudiées via leurs foncteurs représentables ; il fournit un test pratique d'isomorphisme et une méthode pour reconstruire la structure catégorique dans une catégorie de préfaisceaux.

Inversion

Plutôt que de représenter les objets par leurs foncteurs des points, on peut considérer l'expression des préfaisceaux comme colimites de représentables (perspective co-Yoneda) ; inverser la direction met l'accent sur la façon dont les préfaisceaux sont construits à partir des représentables plutôt que sur l'inclusion des objets.

Limite

S'applique aux catégories localement petites et aux préfaisceaux ordinaires ; dans les contextes enrichis, supérieurs ou de grande taille, l'énoncé exige la formulation de Yoneda enrichie ou supérieure correspondante ; il n'affirme pas l'égalité d'objets, seulement des isomorphismes canoniques de foncteurs ou des bijections naturelles.

Tension sémantique

Une tension existe entre le langage informel parlant d'« éléments d'un objet » et la vue catégorique selon laquelle les objets n'ont de points qu'au travers des foncteurs des points ; des emplois concurrents confondent parfois la condition de naturalité de Yoneda en traitant des correspondances point par point comme suffisantes pour identifier des structures.

Synthèse

Le lemme de Yoneda unifie représentabilité et naturalité : les fibres d'un préfaisceau au-dessus d'un objet correspondent exactement aux transformations naturelles depuis le foncteur représentable de cet objet, fournissant un plongement pleinement fidèle qui permet d'étudier les objets catégoriques via leurs foncteurs des points.