Resultado fundamental de la teoría de categorías que identifica los elementos de un prefunto en un objeto con las transformaciones naturales desde el funtor representable Hom(−, A) hacia ese prefunto, representando así los objetos de una categoría por sus funtores de puntos y estableciendo un empotramiento plenamente fiel en la categoría de prefuntos.

Principio

Representabilidad y naturalidad: los valores de un prefunto F en un objeto A están en biyección canónica con las transformaciones naturales Hom(−, A) ⇒ F; las transformaciones naturales entre representables recuperan los morfismos de la categoría original.

Demostración

En la categoría de conjuntos, para un objeto fijo X y un prefunto F : C^op → Set, cada elemento x ∈ F(X) define una transformación natural η_x: Hom(−, X) ⇒ F enviando f: Y → X a F(f)(x); el lema de Yoneda afirma que esta asignación es biyectiva y natural en F y X.

Aplicación incorrecta

Usar una biyección punto por punto entre conjuntos Hom y valores de un prefunto sin respetar la naturalidad para inferir un isomorfismo de objetos, o aplicar el lema en contextos sin conjuntos Hom (categorías no localmente pequeñas) o sin el enriquecimiento adecuado, lo que invalida la biyección.

Consecuencia

El empotramiento de Yoneda A ↦ Hom(−, A) es plenamente fiel, por lo que las cuestiones sobre objetos y morfismos pueden estudiarse mediante sus funtores representables; proporciona una prueba práctica de isomorfismo y una vía para reconstruir la estructura categórica dentro de la categoría de prefuntos.

Inversión

En lugar de representar objetos por sus funtores de puntos, puede considerarse expresar los prefuntos como colímites de representables (perspectiva co-Yoneda); invertir la dirección enfatiza cómo los prefuntos se construyen a partir de representables más que cómo los objetos se incluyen en prefuntos.

Límite

Se aplica a categorías localmente pequeñas y prefuntos ordinarios; en contextos enriquecidos, superiores o de gran tamaño, la afirmación requiere la formulación de Yoneda enriquecida o superior correspondiente; no afirma igualdad de objetos, sino isomorfismos canónicos de funtors o biyecciones naturales.

Tensión semántica

Hay una tensión entre el lenguaje informal que habla de 'elementos de un objeto' y la visión categórica de que los objetos solo tienen 'puntos' a través de sus funtores de puntos; usos competidores a veces diluyen la condición de naturalidad al tratar correspondencias punto por punto como suficientes para identificar estructuras.

Síntesis

El lema de Yoneda unifica representabilidad y naturalidad: las fibras de un prefunto sobre un objeto corresponden exactamente a las transformaciones naturales desde el funtor representable de ese objeto, proporcionando un empotramiento plenamente fiel que permite estudiar objetos categóricos mediante sus funtores de puntos.