Ein grundlegendes Resultat der Kategorientheorie, das die Elemente eines Präfunktors an einem Objekt mit den natürlichen Transformationen vom repräsentierbaren Funktor Hom(−, A) zu diesem Präfunktor identifiziert und damit Objekte einer Kategorie durch ihre Funktoren der Punkte darstellt sowie ein volltreues Einbetten in die Präfunktorenkategorie etabliert.

Prinzip

Repräsentierbarkeit und Natürlichkeit: Die Werte eines Präfunktors F an einem Objekt A stehen in kanonischer Bijektion zu den natürlichen Transformationen Hom(−, A) ⇒ F; natürliche Transformationen zwischen Repräsentablen rekonstruieren Morphismen der Ausgangskategorie.

Demonstration

In der Kategorie der Mengen definiert für ein festes Objekt X und einen Präfunktor F : C^op → Set jedes Element x ∈ F(X) eine natürliche Transformation η_x: Hom(−, X) ⇒ F, indem f: Y → X auf F(f)(x) abgebildet wird; das Yoneda-Lemma besagt, dass diese Zuordnung bijektiv und natürlich in F und X ist.

Fehlanwendung

Eine punktweise Bijektion zwischen Hom-Mengen und Präfunktorwerten ohne Berücksichtigung der Natürlichkeit heranzuziehen, um Isomorphie von Objekten zu folgern, oder das Lemma in Kontexten ohne Hom-Mengen (nicht lokal kleine Kategorien) oder ohne passendes Enrichment anzuwenden, wodurch die Bijektion entfällt.

Konsequenz

Die Yoneda-Einbettung A ↦ Hom(−, A) ist volltreu, sodass man Fragen über Objekte und Morphismen durch ihre repräsentierbaren Funktoren untersuchen kann; sie liefert einen praktischen Test auf Isomorphie und einen Weg, kategoriale Strukturen in Präfunktorkategorien zu rekonstruieren.

Umkehrung

Statt Objekte durch ihre Punkt-Funktoren zu repräsentieren, kann man Präfunktoren als Kolimiten von Repräsentablen darstellen (co-Yoneda-Perspektive); die Umkehrung legt den Schwerpunkt darauf, wie beliebige Präfunktoren aus Repräsentablen aufgebaut sind, statt auf dem Einbetten der Objekte.

Abgrenzung

Gilt für lokal kleine Kategorien und gewöhnliche (nicht-enrichte) Präfunktoren; in enrichten, höheren oder großen Kategoriekontexten ist die entsprechende enrichte bzw. höhere Yoneda-Formulierung nötig; es behauptet keine Gleichheit von Objekten, sondern kanonische Isomorphismen von Funktoren bzw. natürliche Bijektionen.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen der informellen Rede von 'Elementen eines Objekts' und der kategorialen Sicht, dass Objekte nur über ihre Funktoren der Punkte 'Elemente' haben; konkurrierende Verwendungen verwischen manchmal die Natürlichkeitsbedingung, indem punktweise Korrespondenzen als ausreichend angesehen werden.

Synthese

Das Yoneda-Lemma vereinigt Repräsentierbarkeit und Natürlichkeit: Die Werte eines Präfunktors an einem Objekt entsprechen genau den natürlichen Transformationen vom repräsentierbaren Funktor dieses Objekts, wodurch ein volltreues Einbetten entsteht, das das Studium kategorialer Objekte über ihre Punkt-Funktoren ermöglicht.