Un anneau dans lequel un certain idéal finiment engendré n'est pas finiement présenté ; équivalemment, il existe un homomorphisme entre modules libres de type fini dont le noyau n'est pas finiment engendré. Il s'agit de la défaillance de la cohérence.

Principe

Défaut de présentation finie des relations : bien qu'un idéal soit engendré par un nombre fini d'éléments, le module des relations entre ces générateurs nécessite une infinité de générateurs, de sorte que les relations ne sont pas contrôlées par une présentation finie.

Démonstration

Une situation concrète typique est l'anneau de polynômes en un nombre dénombrable de variables k[x1,x2,...] ; l'idéal I = (x1,x2,x3,...) illustre un défaut de présentation finie comme module sur l'anneau, entraînant la non-cohérence par l'existence de noyaux non finiment engendrés liés à I.

Mauvaise application

Utiliser des arguments qui supposent que les noyaux d'applications entre modules finiment engendrés sont finiment engendrés (par exemple traiter des faisceaux comme cohérents sans vérifier les hypothèses) conduit à des conclusions erronées ; employer des outils homologiques qui exigent la cohérence produit des résultats non fiables.

Conséquence

La catégorie des modules finiment présentés peut ne pas être exacte : les noyaux peuvent sortir de cette classe, gênant de nombreuses constructions en géométrie algébrique et en algèbre homologique qui reposent sur la présentation finie des modules ou faisceaux.

Inversion

Un anneau cohérent, où chaque idéal finiment engendré est finiment présenté et où les noyaux entre modules libres finis sont finiment engendrés.

Limite

La non-cohérence concerne la présentation finie des idéaux finiment engendrés et des noyaux ; elle n'implique pas automatiquement l'absence d'autres propriétés de finitude (un anneau peut être non cohérent tout en satisfaisant d'autres conditions locales de finitude), et le phénomène existe en contexte commutatif et non commutatif.

Tension sémantique

« Non cohérent » est parfois confondu avec « non noethérien », mais tandis que tous les anneaux noethériens sont cohérents, la non-cohérence cible une défaillance différente : celle des relations plutôt que de la génération ; la tension est entre génération et présentation.

Synthèse

Un Anneau Non Cohérent est un anneau où la génération finie n'implique pas la présentation finie : certains idéaux finiment engendrés possèdent une infinité de relations indépendantes, de sorte que les noyaux de morphismes finis ne sont pas contrôlés, rompant des propriétés d'exactitude cruciales en algèbre et géométrie.