Ein Ring, in dem ein endlich erzeugtes Ideal nicht endlich präsentiert ist; äquivalent dazu existiert eine Abbildung zwischen endlich erzeugten freien Moduln, deren Kern nicht endlich erzeugt ist. Dies ist das Versagen von Kohärenz.

Prinzip

Versagen der endlichen Präsentation von Relationen: Obwohl ein Ideal durch endlich viele Elemente erzeugt ist, benötigt das Relationenmodul dieser Erzeuger unendlich viele Erzeuger, sodass Relationen nicht endlich kontrollierbar sind.

Demonstration

Ein typisches konkretes Beispiel ist der Polynomring in abzählbar vielen Variablen k[x1,x2,...]; das Ideal I = (x1,x2,x3,...) illustriert, dass es als Modul nicht endlich präsentiert ist, wodurch Kohärenz durch das Vorhandensein eines nicht endlich erzeugten Kerns verletzt wird.

Fehlanwendung

Argumente zu verwenden, die voraussetzen, dass Kerne von Abbildungen zwischen endlich erzeugten Moduln endlich erzeugt sind (z. B. Faser als kohärent behandeln ohne Prüfung), führt zu falschen Schlüssen; homologische Werkzeuge, die Kohärenz benötigen, liefern unzuverlässige Ergebnisse.

Konsequenz

Die Kategorie der endlich präsentierten Moduln muss nicht exakt sein: Kerne können diese Klasse verlassen, was viele Konstruktionen in algebraischer Geometrie und homologischer Algebra behindert, die auf endlicher Präsentierbarkeit beruhen.

Umkehrung

Ein kohärenter Ring, in dem jedes endlich erzeugte Ideal endlich präsentiert ist und Kerne zwischen endlichen freien Moduln endlich erzeugt sind.

Abgrenzung

Nichtkohärenz bezieht sich auf die endliche Präsentation endlich erzeugter Ideale und Kerne; sie impliziert nicht automatisch das Fehlen anderer Finitheitseigenschaften (ein Ring kann nichtkohärent sein und trotzdem andere lokale Finitheitsbedingungen erfüllen), und das Phänomen tritt in kommutativen und nichtkommutativen Kontexten auf.

Semantische Spannung

„Nichtkohärent“ wird manchmal mit „nicht-noethersch“ verwechselt, doch während alle noetherschen Ringe kohärent sind, beschreibt Nichtkohärenz ein anderes Versagen: das der Relationen statt der Erzeugung; die Spannung liegt zwischen Erzeugung und Präsentation.

Synthese

Ein Nichtkohärenter Ring ist ein Ring, in dem endliche Erzeugung nicht zu endlicher Präsentation führt: einige endlich erzeugte Ideale besitzen unendlich viele unabhängige Relationen, sodass Kerne endlicher Abbildungen nicht kontrolliert sind und wichtige exakte Eigenschaften verloren gehen.