Un anillo en el que algún ideal finitamente generado no es finitamente presentado; equivalentemente, existe un homomorfismo entre módulos libres finitamente generados cuyo núcleo no es finitamente generado. Esto constituye el fallo de la coherencia.

Principio

Fallo de la presentación finita de las relaciones: aunque un ideal esté generado por un número finito de elementos, el módulo de relaciones entre esos generadores requiere infinitos generadores, de modo que las relaciones no están controladas finitamente.

Demostración

Una situación típica es el anillo de polinomios en contables variables k[x1,x2,...]; el ideal I = (x1,x2,x3,...) muestra que como módulo no es finitamente presentado, produciendo la no coherencia por la existencia de núcleos no finitamente generados relacionados con I.

Aplicación incorrecta

Usar argumentos que asumen que los núcleos de aplicaciones entre módulos finitamente generados son finitamente generados (por ejemplo, tratar haces como coherentes sin comprobar hipótesis) conduce a conclusiones incorrectas; aplicar herramientas homológicas que requieren coherencia da resultados poco fiables.

Consecuencia

La categoría de módulos finitamente presentados puede no ser exacta: los núcleos pueden quedar fuera de la clase, obstruyendo muchas construcciones en geometría algebraica y álgebra homológica que dependen de la presentabilidad finita de módulos o haces.

Inversión

Un Anillo Coherente, donde todo ideal finitamente generado es finitamente presentado y los núcleos entre módulos libres finitos son finitamente generados.

Límite

La no coherencia es una declaración sobre la presentación finita de ideales finitamente generados y de núcleos; no implica automáticamente la ausencia de otras propiedades de finitud (un anillo puede ser no coherente y aun así satisfacer otras condiciones locales de finitud), y el fenómeno aparece en contextos conmutativos y no conmutativos.

Tensión semántica

«No coherente» a veces se confunde con «no noetheriano», pero mientras todos los anillos noetherianos son coherentes, la no coherencia identifica un fallo distinto: el de las relaciones más que el de la generación; la tensión está entre generación y presentación.

Síntesis

Un Anillo No Coherente es un anillo donde la generación finita no conduce a presentación finita: algunos ideales finitamente generados tienen infinitas relaciones independientes, de modo que los núcleos de morfismos finitos no están controlados y se pierden propiedades de exactitud importantes.