Un ensemble définissable dans une structure M est une partie de M^n qui est l'ensemble des solutions d'une formule du premier ordre φ(x) éventuellement à paramètres de M ; autrement dit D = { a ∈ M^n : M ⊨ φ(a) } pour une formule φ et un n-uplet de paramètres de M.

Principe

La définissabilité signifie qu'il existe une description uniforme au premier ordre (une formule) qui sélectionne exactement les éléments de l'ensemble dans la structure donnée, éventuellement en utilisant des paramètres pour désigner des éléments fixés.

Démonstration

Dans un corps, l'ensemble des zéros d'un polynôme f(x) à coefficients dans le corps est définissable par la formule atomique f(x)=0 ; dans un groupe, le centralisateur d'un élément g est définissable par la formule xg=gx.

Mauvaise application

Confondre ensembles définissables et ensembles algébriques ou topologiques : un ensemble définissable par une formule du premier ordre peut ne pas être une variété algébrique, et réciproquement des ensembles algébriques peuvent nécessiter des paramètres ou une expansion du langage pour être définissables.

Conséquence

Les ensembles définissables sont stables par combinaisons booléennes et par projection (quantification existentielle), ils forment donc les briques de base pour l'analyse modèle-théorique d'une structure et déterminent fonctions et relations définissables.

Inversion

La notion inverse est celle d'ensemble type-définissable ou invariant : une intersection d'un nombre éventuellement infini d'ensembles définissables (type-définissable) n'est en général pas définissable par une seule formule du premier ordre, montrant une faiblesse de la définissabilité uniforme.

Limite

La définissabilité dépend du langage choisi et des paramètres autorisés ; certains sous-ensembles ne sont définissables qu'après avoir nommé des constantes ou étendu le langage, et la définissabilité exclut les descriptions infinitaires ou du second ordre sauf si elles sont explicitement permises.

Tension sémantique

« Défini » concurrence avec « interprétable » et « type-défini » : les ensembles interprétables peuvent exiger un codage entre triés, tandis que les ensembles type-défissables sont des intersections d'ensembles définissables ; ces distinctions influent sur le transfert de propriétés entre structures.

Synthèse

Un ensemble définissable est une sous-partie d'une structure distinguée par une unique formule du premier ordre (avec paramètres possibles) ; c'est l'élément canonique pour étudier la géométrie et la combinatoire des modèles en termes du premier ordre.