Un conjunto definible en una estructura M es un subconjunto de M^n que coincide con el conjunto de soluciones de una fórmula de primer orden φ(x) posiblemente con parámetros de M; es decir, D = { a ∈ M^n : M ⊨ φ(a) } para alguna φ y tupla de parámetros de M.

Principio

Definibilidad significa que existe una descripción uniforme de primer orden (una fórmula) que selecciona exactamente los miembros del conjunto en la estructura dada, posiblemente usando parámetros para nombrar elementos fijos.

Demostración

En un campo, el conjunto de ceros de un polinomio f(x) con coeficientes en el campo es definible mediante la fórmula atómica f(x)=0; en un grupo, el centralizador de un elemento g es definible mediante la fórmula xg=gx.

Aplicación incorrecta

Confundir conjuntos definibles con conjuntos algebraicos o topológicos: un conjunto definible por una fórmula de primer orden puede no ser una variedad algebraica, y a la inversa, los conjuntos algebraicos en algunos lenguajes requieren parámetros o una expansión del lenguaje para ser definibles.

Consecuencia

Los conjuntos definibles son cerrados bajo combinaciones booleanas y bajo proyección (cuantificación existencial), por lo que constituyen las piezas básicas para el análisis modelo-teórico de una estructura y determinan funciones y relaciones definibles.

Inversión

La noción inversa es la de conjunto tipo-definible o invariante: una intersección de posiblemente infinitos conjuntos definibles (tipo-definible) en general no es definible por una única fórmula de primer orden, mostrando una debilidad de la definibilidad uniforme.

Límite

La definibilidad depende del lenguaje elegido y de los parámetros permitidos; algunos subconjuntos sólo son definibles tras nombrar constantes o ampliar el lenguaje, y la definibilidad excluye descripciones infinitarias o de segundo orden salvo que se permitan explícitamente.

Tensión semántica

«Definible» compite con «interpretable» y «tipo-definible»: los conjuntos interpretables pueden requerir codificación entre órdenes, mientras que los tipo-definibles son intersecciones de conjuntos definibles; estas distinciones afectan la transferencia de propiedades entre estructuras.

Síntesis

Un conjunto definible es una subparte de una estructura delimitada por una única fórmula de primer orden (con parámetros posibles); constituye el bloque canónico para estudiar la geometría y la combinatoria de modelos en términos de primer orden.