Eine definierbare Menge in einer Struktur M ist eine Teilmenge von M^n, die gleich der Lösungsmenge einer Formel φ(x) erster Ordnung ist, gegebenenfalls mit Parametern aus M; das heißt D = { a ∈ M^n : M ⊨ φ(a) } für eine Formel φ und einen Parametervektor aus M.

Prinzip

Definierbarkeit bedeutet, dass es eine uniforme erstordnungslogische Beschreibung (eine Formel) gibt, die genau die Elemente der Menge in der gegebenen Struktur auswählt, möglicherweise unter Verwendung von Parametern zum Benennen fester Elemente.

Demonstration

In einem Körper ist die Menge der Nullstellen eines Polynoms f(x) mit Koeffizienten im Körper durch die atomare Formel f(x)=0 definierbar; in einer Gruppe ist der Zentralisator eines Elements g durch die Formel xg=gx definierbar.

Fehlanwendung

Definierbare Mengen mit algebraischen oder topologischen Mengen zu verwechseln: Eine mittels einer erstordnungslogischen Formel definierbare Menge muss keine algebraische Varietät sein, und umgekehrt benötigen algebraische Mengen in manchen Sprachen Parameter oder Sprachenerweiterungen, um definierbar zu sein.

Konsequenz

Definierbare Mengen sind abgeschlossen unter booleschen Kombinationen und unter Projektion (existenzielle Quantifikation), sie bilden daher die grundlegenden Bausteine für die modelltheoretische Analyse einer Struktur und bestimmen definierbare Funktionen und Relationen.

Umkehrung

Das Gegenstück ist type-definierbar oder invariant: Eine Schnittmenge möglicherweise unendlich vieler definierbarer Mengen (type-definierbar) ist im Allgemeinen nicht durch eine einzige erstordnungslogische Formel definierbar, was eine Abschwächung der uniformen Definierbarkeit zeigt.

Abgrenzung

Definierbarkeit hängt von der gewählten Sprache und den erlaubten Parametern ab; manche Teilmengen sind erst nach Benennung von Konstanten oder Erweiterung der Sprache definierbar, und Definierbarkeit schließt infinitäre oder höherordentliche Beschreibungen aus, sofern sie nicht ausdrücklich erlaubt werden.

Semantische Spannung

‘Definierbar’ steht im Wettbewerb mit ‘interpretierbar’ und ‘type-definierbar’: Interpretierbare Mengen können eine Kodierung zwischen Sorten erfordern, während type-definierbare Mengen Schnitte definierbarer Mengen sind; diese Unterschiede beeinflussen den Eigenschaften-Transfer zwischen Strukturen.

Synthese

Eine definierbare Menge ist eine Teilmenge einer Struktur, die durch eine einzelne erstordnungslogische Formel (mit möglichen Parametern) ausgewählt wird; sie ist der kanonische Baustein zur Untersuchung der Geometrie und Kombinatorik von Modellen in erstordnungslogischen Begriffen.