Un type complet sur un ensemble de paramètres A est un ensemble cohérent maximal de formules du premier ordre à paramètres dans A : pour toute formule φ(x,a) avec a dans A, le type contient soit φ(x,a) soit sa négation, et l'ensemble reste cohérent avec la théorie T.

Principe

Maximalité relative à la cohérence : un type complet ne laisse aucune formule à paramètres dans A indécise, fournissant ainsi une description complète du premier ordre (relativement à A) de l'élément ou du n-uplet hypothétique.

Démonstration

Dans un corps algébriquement clos saturé, un 1-type complet sur un petit sous-ensemble A peut affirmer soit que l'élément est algébrique sur A (en incluant des égalités polynomiales), soit qu'il est transcendant (en incluant les non-annulations de polynômes), décidant ainsi toute formule à paramètres dans A.

Mauvaise application

Confondre complétude et être isolé ou principal : un type complet n'est pas nécessairement engendré par une seule formule et peut ne pas être réalisé dans un modèle donné si le modèle n'est pas suffisamment saturé.

Conséquence

Connaître un type complet sur A détermine le diagramme élémentaire de l'élément relatif à A et contrôle comment l'élément peut être étendu ou déplacé par des automorphismes fixant A.

Inversion

L'inverse est un type partiel qui laisse certaines formules indécises, ce qui encode strictement moins d'information et peut correspondre à de nombreuses complétions non équivalentes.

Limite

La complétude est relative à un ensemble de paramètres A et à un langage choisis ; un type complet sur A peut être incomplet sur un ensemble de paramètres plus large B ⊇ A, et la complétude est une notion propre au premier ordre.

Tension sémantique

« Complet » concurrence avec d'autres usages (complétude métrique, clôture algébrique) ; en théorie des modèles il signifie maximalité syntaxique sous contrainte de cohérence, différente des notions topologiques ou algébriques.

Synthèse

Un type complet est un profil maximal et cohérent de formules du premier ordre sur des paramètres A qui décide chaque formule à ces paramètres, donnant un portrait définitif au premier ordre d'un élément hypothétique relatif à A.