Un tipo completo sobre un conjunto de parámetros A es un conjunto consistente y maximal de fórmulas de primer orden con parámetros en A: para toda fórmula φ(x,a) con a en A, el tipo contiene φ(x,a) o su negación, y el conjunto entero es consistente con la teoría T.

Principio

Maximalidad respecto a la consistencia: un tipo completo no deja ninguna fórmula con parámetros en A indeterminada, proporcionando así una descripción de primer orden completa (relativa a A) del elemento o tupla hipotético.

Demostración

En un campo algebraicamente cerrado saturado, un tipo 1 completo sobre un subconjunto pequeño A puede afirmar que un elemento es algebraico sobre A (incluyendo igualdades polinómicas) o que es trascendente (incluyendo todas las no anulaciones polinómicas), decidiendo así cada fórmula con parámetros en A.

Aplicación incorrecta

Confundir completitud con ser aislado o principal: un tipo completo no tiene por qué estar generado por una única fórmula y puede no ser realizado en un modelo dado si el modelo no es suficientemente saturado.

Consecuencia

Conocer un tipo completo sobre A determina el diagrama elemental del elemento relativo a A y controla cómo puede extenderse o moverse mediante automorfismos que fijan A.

Inversión

La inversa es un tipo parcial que deja fórmulas sin decidir, lo que codifica menos información y puede corresponder a muchas completaciones no equivalentes.

Límite

La completitud es relativa a un conjunto de parámetros A y a un lenguaje elegidos; un tipo completo sobre A puede ser incompleto sobre un conjunto de parámetros mayor B ⊇ A, y la completitud es una noción estrictamente de primer orden.

Tensión semántica

«Completo» compite con otros usos (completitud métrica, cierre algebraico); en teoría de modelos denota maximalidad sintáctica sujeta a consistencia, diferente de nociones topológicas o algebraicas.

Síntesis

Un tipo completo es un perfil consistente y maximal de fórmulas de primer orden sobre parámetros A que decide cada fórmula con esos parámetros, proporcionando un retrato definitivo de primer orden de un elemento hipotético relativo a A.