Ein vollständiger Typ über einer Parametersatz A ist eine maximal konsistente Menge von Formeln erster Ordnung mit Parametern aus A: Für jede Formel φ(x,a) mit a in A enthält der Typ entweder φ(x,a) oder deren Negation, wobei die Gesamtheit konsistent mit der Theorie T bleibt.

Prinzip

Maximalität in Bezug auf Konsistenz: Ein vollständiger Typ lässt keine A-Formel offen und liefert so eine vollständige erste-Ordnung-Beschreibung (relativ zu A) des hypothetischen Elements oder Tupels.

Demonstration

In einem gesättigten algebraisch abgeschlossenen Körper kann ein vollständiger 1-Typ über einer kleinen Teilmenge A entweder aussagen, dass ein Element algebraisch über A ist (durch Einbeziehung von Polynomgleichungen), oder dass es transzendent ist (durch Einbeziehung aller Nichtverschwindensaussagen), und entscheidet damit jede Formel mit Parametern aus A.

Fehlanwendung

Vollständigkeit mit Isoliert- oder Haupttyp zu verwechseln: Ein vollständiger Typ muss nicht durch eine einzelne Formel erzeugt sein und kann in einem gegebenen Modell unerfüllt bleiben, falls dieses nicht genügend gesättigt ist.

Konsequenz

Die Kenntnis eines vollständigen Typs über A bestimmt das elementare Diagramm des Elements relativ zu A und steuert, wie das Element durch A-fixierende Automorphismen verschoben oder erweitert werden kann.

Umkehrung

Das Gegenteil ist ein partieller Typ, der manche Formeln offenlässt und dadurch weniger Information kodiert und zu vielen nicht-äquivalenten Komplettierungen führen kann.

Abgrenzung

Vollständigkeit ist relativ zu einer gewählten Parametersatz A und Sprache; ein über A vollständiger Typ kann über einer größeren Parametersatz B ⊇ A unvollständig sein, und Vollständigkeit ist eine rein erstordnungslogische Eigenschaft.

Semantische Spannung

‘Vollständig’ steht im Wettbewerb mit anderen Bedeutungen (metrische Vollständigkeit, algebraischer Abschluss); in der Modelltheorie bedeutet es syntaktische Maximalität bei Wahrung der Konsistenz, was sich von topologischer oder algebraischer Vollständigkeit unterscheidet.

Synthese

Ein vollständiger Typ ist ein maximales, konsistentes Profil von Formeln erster Ordnung über Parametern A, das jede Formel mit diesen Parametern entscheidet und ein endgültiges erstes-Ordnung-Porträt eines hypothetischen Elements relativ zu A liefert.