Un type (type en théorie des modèles) est un ensemble de formules du premier ordre à paramètres tirés d'un ensemble A fixé et cohérent avec une théorie T ; il décrit le profil du premier ordre — partiel ou complet — qu'un élément ou un n-uplet peut satisfaire dans des modèles de T.

Principe

Rassembler des propriétés simultanément satisfaisables concernant un élément hypothétique : un type organise des formules de sorte que toute réalisation doit satisfaire chaque propriété, et la cohérence avec T garantit l'absence de contradiction.

Démonstration

Dans la théorie des corps algébriquement clos, le type sur Q d'un élément transcendant est l'ensemble des formules affirmant que tout polynôme non nul à coefficients dans Q ne s'annule pas en cet élément ; cet ensemble cohérent caractérise la transcendance sur Q.

Mauvaise application

Considérer n'importe quelle collection de formules comme un type sans vérifier la cohérence, ou supposer qu'un type est nécessairement fini ou principal alors qu'il peut être intrinsèquement infini.

Conséquence

L'utilisation des types permet de décrire uniformément des éléments dans plusieurs modèles, d'analyser les orbites sous automorphismes et de formuler des propriétés comme la saturation ou la stabilité d'une théorie.

Inversion

La notion inverse est une collection inconsistante de formules (aucun modèle ne la réalise) ou une formule isolée plutôt qu'un ensemble cohérent décrivant l'ensemble des propriétés possibles.

Limite

Les types sont des objets du premier ordre relatifs à un langage et à un ensemble de paramètres donnés ; ils n'autorisent pas de connecteurs infinitaires ni de quantification du second ordre et dépendent des paramètres et de la théorie choisis.

Tension sémantique

« Type » concurrence avec des usages en programmation ou en algèbre où il désigne des catégories syntaxiques ; en théorie des modèles, il signifie spécifiquement un ensemble cohérent de formules décrivant un comportement sémantique potentiel.

Synthèse

Un type est un faisceau cohérent de formules du premier ordre avec paramètres qui encode le comportement imaginable d'un élément ou d'un n-uplet dans les modèles d'une théorie, établissant un pont entre descriptions syntaxiques et réalisations sémantiques.