Ein Typ (modelltheoretischer Typ) ist eine Menge von aussagenlogischen (ersten Ordnung) Formeln mit Parametern aus einer festen Parameterbasis A, die mit einer Hintergrundtheorie T konsistent ist; er beschreibt das mögliche erste-Ordnung-Profil (teilweise oder vollständig), das ein Element oder Tupel in Modellen von T erfüllen kann.

Prinzip

Eigenschaften sammeln, die gleichzeitig erfüllbar sind: Ein Typ ordnet Formeln so, dass jede Realisierung alle Eigenschaften erfüllt, und die Konsistenz mit T stellt sicher, dass die Beschreibung widerspruchsfrei ist.

Demonstration

In der Theorie algebraisch abgeschlossener Körper ist der Typ über Q eines transzendenten Elements die Menge der Formeln, die aussagen, dass kein nichttriviales Polynom mit Koeffizienten in Q an diesem Element verschwindet; diese konsistente Menge charakterisiert Transzendenz über Q.

Fehlanwendung

Beliebige Sammlungen von Formeln als Typ anzusehen, ohne Konsistenz zu prüfen, oder davon auszugehen, ein Typ müsse endlich erzeugt oder durch eine einzige Formel erzeugt sein, obwohl er unendlich sein kann.

Konsequenz

Mit Typen kann man Elemente über Modelle hinweg einheitlich beschreiben, Automorphismenorbit-Analysen durchführen und Begriffe wie Sättigung und Stabilität einer Theorie fassen.

Umkehrung

Das Gegenteil ist eine inkonsistente Formelsammlung (kein Modell realisiert sie) oder eine isolierte Formel anstelle eines kohärenten, möglicherweise unendlichen Beschreibungsensembles.

Abgrenzung

Typen sind erstordnungslogische Objekte relativ zu einer festen Sprache und Parametersatz; sie erlauben keine infinitären Verknüpfungen oder zweitordentliche Quantifikation und hängen von gewählten Parametern und Theorie ab.

Semantische Spannung

‘Typ’ konkurriert mit Bedeutungen in der Programmierung und der Algebra, wo es syntaktische Kategorien bezeichnet; in der Modelltheorie bedeutet es speziell eine konsistente Menge von Formeln, die mögliches semantisches Verhalten beschreibt.

Synthese

Ein Typ ist ein konsistentes Bündel von Formeln erster Ordnung mit Parametern, das das vorstellbare Verhalten eines Elements oder Tupels in Modellen einer Theorie kodiert und Syntax mit Semantik verbindet.