Pour une structure A, le diagramme atomique AtDiag(A) est la partie du diagramme élémentaire ne constituée que des phrases atomiques (sans négations) dans le langage étendu par des constantes c_a nommant chaque élément de A qui sont vraies dans A.

Principe

Le diagramme atomique enregistre seulement l'information atomique positive concernant les éléments nommés : relations et égalités qui tiennent. Il est plus faible que le diagramme élémentaire car il omet les négations explicites, offrant des contraintes plus souples sur les modèles qui doivent seulement réaliser les atomes affirmés.

Démonstration

Avec les constantes {c_a : a ∈ A}, on collecte toutes les phrases atomiques R(c_a1,...,c_an) et les égalités entre constantes vraies dans A. Tout modèle de AtDiag(A) interprète les constantes de sorte à satisfaire ces faits atomiques positifs ; de tels modèles peuvent cependant identifier des constantes distinctes sauf si des égalités l'interdisent.

Mauvaise application

Penser que AtDiag(A) détermine tous les faits atomiques y compris ceux qui ne tiennent pas ; comme il omet les atomes négatifs, les modèles de AtDiag(A) peuvent satisfaire des relations atomiques supplémentaires absentes de A ou identifier des éléments nommés distincts, de sorte qu'on ne peut pas reconstruire A de manière unique à partir de AtDiag(A) seulement.

Conséquence

Utiliser AtDiag(A) suffit à plonger A dans des modèles réalisant sa structure atomique positive et est souvent employé quand on veut permettre librement des relations ou identifications additionnelles tout en garantissant que les atomes nommés tiennent ; il facilite l'amalgamation partielle et les constructions dirigées.

Inversion

La réciproque consiste à inclure les négations (retour au diagramme élémentaire complet) ou à considérer seulement la théorie complète sans noms. Ajouter des négations restreint les modèles possibles et peut forcer l'unicité de la partie nommée, tandis que supprimer les noms abstrait davantage la description.

Limite

S'applique dans le langage étendu avec une constante par élément et se limite aux assertions atomiques positives ; il ne contraint pas les conséquences non atomiques du premier ordre ni n'interdit des atomes absents de la liste, donc des axiomes supplémentaires sont nécessaires pour contrôler les identifications et les faits négatifs.

Tension sémantique

Tension avec le diagramme élémentaire : les diagrammes atomiques sont permissifs et centrés sur le positif, tandis que les diagrammes élémentaires fixent la présence et l'absence des faits atomiques. Il existe aussi une tension entre diagrammes atomiques et théories complètes, lesquelles omettent la nomination individuelle mais capturent des conséquences globales.

Synthèse

Le diagramme atomique de A est l'ensemble de toutes les phrases atomiques positives dans le langage enrichi par des constantes nommant les éléments de A qui sont vraies dans A ; c'est un portrait syntaxique allégé qui impose certains atomes tout en laissant ouvertes les négations et les identifications pour une spécification ultérieure.