Pour une structure A, le diagramme élémentaire Diag(A) est l'ensemble de toutes les phrases atomiques et atomiques négatives dans le langage étendu par des constantes c_a nommant chaque élément a ∈ A, qui sont vraies dans A. Il enregistre l'information atomique complète sur A lorsque les éléments sont nommés.

Principe

Le diagramme élémentaire encode l'information atomique et atomique négative complète de la structure une fois les éléments nommés ; c'est une théorie commode dans un langage étendu dont les modèles sont précisément les expansions réalisant les vérités atomiques de A concernant les éléments nommés.

Démonstration

Pour la structure A, introduire des symboles de constantes {c_a : a ∈ A} et rassembler toutes les phrases de la forme R(c_a1,...,c_an) ou ¬R(c_a1,...,c_an) ainsi que les égalités/inégalités entre constantes qui tiennent dans A. Tout modèle de Diag(A) dans le langage étendu contient une copie isomorphe de A interprétant c_a par l'élément correspondant.

Mauvaise application

Confondre le diagramme élémentaire avec la théorie complète Th(A) : Diag(A) dépend des noms des éléments et est souvent plus contraignant (parfois incompatible avec d'autres identifications souhaitées), tandis que Th(A) est un ensemble de phrases sans noms d'éléments et est invariant par isomorphisme.

Conséquence

Diag(A) permet d'imposer la présence d'une sous-structure particulière lors de la construction de modèles : un modèle de Diag(A) interprète nécessairement les constantes ajoutées pour satisfaire les mêmes faits atomiques que A, d'où l'utilisation des diagrammes en amalgamation, réalisabilité et construction d'extensions ou plongements élémentaires.

Inversion

La notion duale est l'omission du diagramme : ne considérer que la théorie sans constantes ou seulement le diagramme atomique (voir entrée suivante). Omettre les négations ou les constantes affaiblit le pouvoir de contrainte et peut permettre des modèles ne contenant pas de copie de A.

Limite

Défini dans le langage étendu par des symboles de constantes distincts nommant chaque élément ; il porte au niveau atomique/atomique-négatif et n'inclut pas les conséquences générales du premier ordre sauf celles logiquement impliquées par cet ensemble atomique ; un contrôle attentif de la signature étendue est nécessaire.

Tension sémantique

Concurrence avec d'autres codages syntaxiques comme les diagrammes canoniques, les diagrammes atomiques et les théories complètes : le diagramme élémentaire est fin et paramétré par des noms, alors que les théories générales se détachent des éléments particuliers et visent des propriétés au niveau des phrases.

Synthèse

Le diagramme élémentaire de A est la théorie dans le langage enrichi par des constantes nommant chaque élément énumérant toutes les phrases atomiques et atomiques négatives vraies dans A ; c'est un portrait syntaxique précis qui force les modèles à interpréter ces noms comme une partie isomorphe à A.