Dada una estructura A, el diagrama elemental Diag(A) es el conjunto de todas las oraciones atómicas y atómicas negadas en el lenguaje ampliado nombrando cada elemento a ∈ A mediante una nueva constante c_a, que son verdaderas en A. Registra la información atómica completa sobre A con constantes.

Principio

El diagrama elemental codifica la información atómica y atómica negada completa de la estructura una vez nombrados los elementos; es una teoría útil en un lenguaje ampliado cuyos modelos son precisamente las expansiones que realizan las verdades atómicas de A respecto de los elementos nombrados.

Demostración

Para A se introducen símbolos de constantes {c_a : a ∈ A} y se recogen todas las oraciones R(c_a1,...,c_an) o ¬R(c_a1,...,c_an) y las igualdades/desigualdades entre constantes que son verdaderas en A. Todo modelo de Diag(A) en el lenguaje ampliado contiene una copia isomorfa de A interpretando c_a como el elemento correspondiente.

Aplicación incorrecta

Confundir el diagrama elemental con la teoría completa Th(A): Diag(A) es sensible a los nombres de los elementos y suele ser mucho más fuerte (a menudo incompatible con otras identificaciones deseadas), mientras que Th(A) es un conjunto de oraciones sin nombres de elementos e invariante por isomorfismo.

Consecuencia

Diag(A) permite forzar la presencia de una subestructura particular al construir modelos: un modelo de Diag(A) interpreta necesariamente las constantes añadidas para satisfacer los mismos hechos atómicos que A, por lo que los diagramas se usan en amalgamación, realizabilidad y en la construcción de extensiones o inmersiones elementales.

Inversión

La noción dual es la omisión del diagrama: considerar solo la teoría sin constantes o solo el diagrama atómico (ver entrada siguiente). Omitir negaciones o constantes debilita el poder de forzar y puede permitir modelos que no contienen una copia de A.

Límite

Definido en el lenguaje ampliado por símbolos constantes distintos que nombran cada elemento; opera a nivel atómico/atómico-negado y no incluye consecuencias arbitrarias de primer orden salvo las que se siguen lógicamente del conjunto atómico; se requiere control cuidadoso de la firma ampliada.

Tensión semántica

Compite con otras codificaciones sintácticas como diagramas canónicos, diagramas atómicos y teorías completas: el diagrama elemental es fino y parametrizado por nombres, mientras que las teorías generales abstraen de elementos particulares y se centran en propiedades a nivel de oraciones.

Síntesis

El diagrama elemental de A es la teoría en el lenguaje con nombres constantes para cada elemento que enumera todas las oraciones atómicas y atómicas negadas verdaderas en A; es un retrato sintáctico preciso que obliga a los modelos a interpretar esos nombres como una parte isomorfa a A.