Für eine Struktur A ist das elementare Diagramm Diag(A) die Menge aller atomaren und negierten atomaren Sätze in der Sprache, die durch Konstantsymbole c_a für jedes a ∈ A erweitert wurde, welche in A wahr sind. Es hält die vollständigen atomaren Informationen über A mit Konstantennamen fest.

Prinzip

Das elementare Diagramm kodiert die atomaren und negierten atomaren Informationen der Struktur, sobald die Elemente benannt sind; es ist eine nützliche Theorie in einer erweiterten Sprache, deren Modelle genau die Expansionen sind, die As atomare Wahrheiten über die benannten Elemente realisieren.

Demonstration

Für A fügt man Konstantensymbole {c_a : a ∈ A} ein und sammelt alle Sätze der Form R(c_a1,...,c_an) oder ¬R(c_a1,...,c_an) sowie Gleichheits-/Ungleichheits-Aussagen zwischen Konstanten, die in A gelten. Jedes Modell von Diag(A) in der erweiterten Sprache enthält eine isomorphe Kopie von A, die c_a durch das entsprechende Element interpretiert.

Fehlanwendung

Das elementare Diagramm mit der vollständigen Theorie Th(A) zu verwechseln: Diag(A) hängt von Benennungen einzelner Elemente ab und ist oft stärker (ggf. unvereinbar mit anderen gewünschten Identifikationen), während Th(A) aus Sätzen ohne Elementnamen besteht und isomorphieinvariant ist.

Konsequenz

Diag(A) erlaubt es, beim Modellbau das Vorhandensein einer bestimmten Teilstruktur zu erzwingen: Ein Modell von Diag(A) interpretiert die hinzugefügten Konstanten so, dass dieselben atomaren Tatsachen wie in A gelten; Diagramme werden in Amalgamierung, Realisierbarkeitsfragen und beim Konstruktion elementarer Erweiterungen oder Einbettungen verwendet.

Umkehrung

Die duale Vorstellung ist das Weglassen des Diagramms: nur die Theorie ohne Konstanten zu betrachten oder nur das atomare Diagramm (siehe nächsten Eintrag). Das Weglassen von Negationen oder Konstanten schwächt die Zwangskraft und kann Modelle zulassen, die keine Kopie von A enthalten.

Abgrenzung

Definiert in der durch eindeutige Konstantensymbole erweiterten Sprache; bezieht sich auf atomare/negiert-atomare Ebene und enthält keine allgemeinen ersten-Ordnung-Folgerungen, außer sie werden logisch vom atomaren Satzbestand impliziert; die Kontrolle der erweiterten Signatur ist wesentlich.

Semantische Spannung

Spannung gegenüber anderen syntaktischen Kodierungen wie kanonischen Diagrammen, atomaren Diagrammen und vollständigen Theorien: Das elementare Diagramm ist fein gegliedert und nach Namen parametriert, während allgemeine Theorien von individuellen Elementen abstrahieren und satzbezogene Eigenschaften betonen.

Synthese

Das elementare Diagramm von A ist die Theorie in der Sprache mit Konstantennamen für jedes Element, die alle in A wahren atomaren und negierten atomaren Sätze aufzählt; es ist ein präzises syntaktisches Porträt, das Modelle dazu zwingt, diese Namen so zu interpretieren, dass der benannte Teil isomorph zu A ist.