Un homomorphisme injectif f : A → B entre structures dans le même langage du premier ordre qui préserve la vérité de toute formule : pour toute formule φ(x1,...,xn) et tout n-uplet a de A, A ⊨ φ(a) si et seulement si B ⊨ φ(f(a)).

Principe

Un plongement élémentaire transfère l'intégralité de la théorie du premier ordre de A dans B le long de l'application, et pas seulement les interprétations des symboles ; c'est une condition de préservation syntaxique plus forte qu'un homomorphisme ou qu'une simple équivalence élémentaire des images.

Démonstration

La carte diagonale de A dans un ultraproduit A^I/U est un plongement élémentaire par le théorème de Łoś ; de même, tout isomorphisme est un plongement élémentaire, et l'inclusion d'une sous-structure élémentaire est le plongement élémentaire canonique.

Mauvaise application

Prendre tout homomorphisme injectif pour élémentaire ; par exemple, un homomorphisme injectif d'anneaux ne respecte pas nécessairement les négations de formules atomiques ni la satisfaction de formules arbitraires, et peut donc échouer à être élémentaire.

Conséquence

Les plongements élémentaires permettent le transfert de types, la préservation de formules à paramètres, sont employés pour comparer modèles, construire des chaînes d'extensions élémentaires et analyser la structure interne via les images ; ils soutiennent de nombreuses constructions en théorie des modèles comme les chaînes élémentaires et les limites directes élémentaires.

Inversion

La notion réciproque est le plongement non élémentaire : un homomorphisme injectif qui ne préserve pas la vérité de certaines formules du premier ordre avec paramètres. Identifier de telles inversions aide à isoler le contenu logique précis perdu par des morphismes plus faibles.

Limite

Défini dans des langages du premier ordre et requiert injectivité plus préservation des formules ; il exclut les homomorphismes arbitraires, les applications partielles et les réciproques entre structures de langages différents sauf si un plongement de langages est fixé.

Tension sémantique

Concurrence avec « équivalence élémentaire » et avec des notions plus faibles comme homomorphisme et inclusion de sous-structure élémentaire ; un plongement élémentaire implique une équivalence élémentaire entre image et domaine, mais la réciproque nécessite surjectivité ou structure additionnelle.

Synthèse

Un plongement élémentaire est une application injective de structures qui préserve la satisfaction de toute formule du premier ordre avec paramètres, réalisant une copie logique fidèle de la source à l'intérieur du but et servant de morphisme canonique pour les constructions préservant l'élémentarité.