Un homomorfismo inyectivo f: A → B entre estructuras en el mismo lenguaje de primer orden que preserva la verdad de toda fórmula de primer orden con parámetros: para toda fórmula φ(x1,...,xn) y todo n-tuplo a en A, A ⊨ φ(a) si y solo si B ⊨ φ(f(a)).

Principio

Una inmersión elemental transfiere la teoría completa de primer orden de A a B a lo largo del mapa, no solo las interpretaciones de símbolos; es una condición de preservación sintáctica más fuerte que homomorfismo o equivalencia elemental de imágenes.

Demostración

El mapa diagonal de A en un ultraproducto A^I/U es una inmersión elemental por el teorema de Łoś; asimismo, cualquier isomorfismo es una inmersión elemental, y la inclusión de una subestructura elemental es la inmersión elemental canónica.

Aplicación incorrecta

Suponer que cualquier homomorfismo inyectivo es elemental; por ejemplo, un homomorfismo inyectivo de anillos no necesariamente respeta las negaciones de fórmulas atómicas ni preserva la satisfacción de fórmulas arbitrarias, por lo que puede no ser elemental.

Consecuencia

Las inmersiones elementales permiten la transferencia de tipos, la preservación de fórmulas con parámetros y se usan para comparar modelos, construir cadenas de extensiones elementales y analizar la estructura interna mediante las imágenes; son la base de muchas construcciones modelísticas.

Inversión

La noción inversa es una inmersión no elemental: un homomorfismo inyectivo que no preserva la verdad de alguna fórmula de primer orden con parámetros. Reconocer tales inversiones ayuda a identificar el contenido lógico preciso perdido por morfismos más débiles.

Límite

Definida en lenguajes de primer orden y requiere inyectividad más preservación de fórmulas; excluye homomorfismos arbitrarios, mapas parciales y mapas entre estructuras en diferentes lenguajes a menos que se fije un embedding de lenguajes.

Tensión semántica

Compite con 'equivalencia elemental' y con nociones más débiles como homomorfismo e inclusión elemental; una inmersión elemental implica equivalencia elemental entre imagen y dominio, pero la recíproca requiere supractividad o estructura adicional.

Síntesis

Una inmersión elemental es un mapa inyectivo entre estructuras que preserva la satisfacción de cada fórmula de primer orden con parámetros, realizando una copia lógica fiel de la fuente dentro del destino y sirviendo como morfismo canónico para construcciones que preservan la elementalidad.