Eine elementare Einbettung f: A → B ist ein injektiver Homomorphismus zwischen Strukturen in derselben ersten-Ordnung-Sprache, der die Wahrheit jeder ersten-Ordnung-Formel mit Parametern erhält: für jede Formel φ(x1,...,xn) und jedes Tupel a aus A gilt A ⊨ φ(a) genau dann, wenn B ⊨ φ(f(a)).

Prinzip

Eine elementare Einbettung überträgt die gesamte erste-Ordnung-Theorie von A nach B entlang der Abbildung, nicht nur Symbolinterpretationen; sie ist eine syntaktische Erhaltungsvorausetzung, stärker als Homomorphie oder elementare Äquivalenz der Bilder.

Demonstration

Die diagonale Abbildung von A in ein Ultraprodukt A^I/U ist per Łoś-Theorem eine elementare Einbettung; ebenso ist jede Isomorphie eine elementare Einbettung, und die Inklusion einer elementaren Teilstruktur ist die kanonische elementare Einbettung.

Fehlanwendung

Zu glauben, jede injektive Homomorphie sei elementar; z.B. muss eine injektive Ringhomomorphie nicht Negationen atomarer Formeln respektieren oder die Erfüllung beliebiger Formeln erhalten und kann daher nicht-elementar sein.

Konsequenz

Elementare Einbettungen erlauben den Transfer von Typen, die Erhaltung von Formeln mit Parametern und werden benutzt, um Modelle zu vergleichen, elementare Erweiterungsketten zu bauen und die innere Struktur über Bilder zu analysieren; sie bilden die Grundlage vieler modeltheoretischer Konstruktionen.

Umkehrung

Das Gegenstück ist eine nicht-elementare Einbettung: eine injektive Homomorphie, die die Wahrheit mancher erster-Ordnung-Formeln mit Parametern nicht erhält. Solche Umkehrungen zeigen genau, welche logischen Informationen durch schwächere Morphismen verloren gehen.

Abgrenzung

Definiert innerhalb erster-Ordnung-Sprachen und erfordert Injektivität plus Formel-Erhaltung; schließt beliebige Homomorphismen, partielle Abbildungen und Abbildungen zwischen Strukturen in verschiedenen Sprachen aus, sofern kein Sprach-Einbettung festgelegt ist.

Semantische Spannung

Spannung gegenüber »elementarer Äquivalenz« und gegenüber schwächeren Begriffen wie Homomorphie oder Inklusion elementarer Teilstruktur; eine elementare Einbettung impliziert elementare Äquivalenz zwischen Bild und Definitionsbereich, die Umkehrung verlangt Surjektivität oder zusätzliche Struktur.

Synthese

Eine elementare Einbettung ist eine injektive Strukturabbildung, die die Erfüllung jeder ersten-Ordnung-Formel mit Parametern erhält und so eine treue logische Kopie der Quelle im Ziel realisiert; sie ist der kanonische Morphismus für elementaritätserhaltende Konstruktionen.