Une sous-structure A d'une structure B (dans le même langage du premier ordre) telle que pour toute formule du premier ordre φ(x1,...,xn) et tout n-uplet a de A, B ⊨ φ(a) si et seulement si A ⊨ φ(a). On note couramment A ≺ B.

Principe

L'élémentarité exige un accord exact sur la vérité de toutes les formules du premier ordre avec paramètres issus de la petite structure ; elle est plus forte que l'être sous-structure et garantit la préservation complète de la structure logique par rapport aux paramètres de A.

Démonstration

Soit A une sous-modèle de B obtenue en fermant un ensemble sous les opérations définissables ; si toute formule avec paramètres de A vraie dans B est déjà vraie dans A, alors A est élémentaire dans B. Par exemple, toute structure s'identifie à une sous-structure élémentaire de sa ultraproduit via l'inclusion diagonale permise par le théorème de Łoś.

Mauvaise application

Considérer toute inclusion ou tout sous-ensemble induit comme élémentaire ; par exemple, penser que le corps des rationnels Q est une sous-structure élémentaire du corps des réels R pour le langage des anneaux est faux, puisque R réalise des assertions existentielles sur des racines que Q ne réalise pas.

Conséquence

Si A ≺ B, alors les types sur A réalisés dans B le sont déjà dans A lorsque ces types se décrivent par des formules avec paramètres dans A ; la conservation des satisfactions permet d'utiliser la compacité et des arguments aller-retour pour comparer des structures et construire des isomorphismes dans des contextes adaptés.

Inversion

La notion opposée est la sous-structure non élémentaire : A ⊆ B qui est une sous-structure mais pour laquelle il existe une formule avec paramètres de A vraie dans B et fausse dans A. Cette inversion montre l'échec de la préservation même pour des formules existentielles ou universelles simples.

Limite

S'applique aux langages du premier ordre et exige que les deux structures partagent le même langage et l'interprétation des symboles ; elle ne se généralise pas directement aux logiques d'ordre supérieur, aux sous-objets en théorie des catégories ou à la simple équivalence élémentaire sans application d'inclusion.

Tension sémantique

Conflit avec « équivalence élémentaire » (A ≡ B) où deux structures satisfont les mêmes phrases du premier ordre sans qu'il y ait nécessairement d'inclusion élémentaire ; une sous-structure n'est élémentaire que lorsque l'inclusion et la préservation des formules coïncident.

Synthèse

Une sous-structure élémentaire est un sous-modèle dont l'inclusion préserve la vérité de toute formule du premier ordre avec paramètres issus du sous-modèle, garantissant que le petit modèle est indiscernable logiquement du grand lorsqu'on ne peut référer qu'aux éléments du petit modèle.