Eine Teilstruktur A einer Struktur B (in derselben prädikatenlogischen Sprache), so dass für jede erste-Ordnung-Formel φ(x1,...,xn) und jedes Tupel a aus A gilt: B ⊨ φ(a) genau dann, wenn A ⊨ φ(a). Üblich ist die Notation A ≺ B.

Prinzip

Elementarität verlangt genaue Übereinstimmung in der Wahrheit aller prädikatenlogischen Formeln mit Parametern aus der kleineren Struktur; sie ist stärker als reine Teilstruktureigenschaft und sichert vollständige Erhaltung der logischen Struktur bezüglich Parametern aus A.

Demonstration

Sei A eine Teilmodell von B, erzeugt als Abschluss einer Menge unter definierten Operationen; wenn jede Formel mit Parametern aus A, die in B gilt, bereits in A gilt, dann ist A elementar in B. Beispielsweise lässt sich jede Struktur mittels diagonaler Einbettung als elementare Teilstruktur eines Ultraprodukts darstellen (Łoś-Theorem).

Fehlanwendung

Jede Inklusionsabbildung oder induzierte Teilstruktur als elementar zu betrachten; etwa anzunehmen, die rationalen Zahlen Q seien eine elementare Teilstruktur der reellen Zahlen R in der Sprache der Körper ist falsch, weil R existenzielle Aussagen über Nullstellen erfüllt, die Q nicht erfüllt.

Konsequenz

Wenn A ≺ B, dann werden in B realisierte Typen über A schon in A realisiert, sofern sie durch Formeln mit Parametern in A beschrieben sind; die Übertragbarkeit von Wahrheiten ermöglicht die Anwendung von Kompaktheit und Rück-Und-Her-Methoden zur Konstruktion von Isomorphismen in geeigneten Fällen.

Umkehrung

Das Gegenstück ist eine nicht-elementare Teilstruktur: A ⊆ B ist eine Teilstruktur, aber es existiert eine Formel mit Parametern aus A, die in B wahr und in A falsch ist. Diese Umkehrung zeigt das Versagen der Erhaltung selbst für einfache existenzielle oder universelle Formeln.

Abgrenzung

Gilt für prädikatenlogische (erste Ordnung) Sprachen und setzt voraus, dass beide Strukturen dieselbe Sprache und Symbolinterpretation teilen; sie verallgemeinert nicht unmittelbar auf höherordentliche Logiken, kategorientheoretische Unterobjekte oder bloße elementare Äquivalenz ohne Inklusion.

Semantische Spannung

Spannung besteht gegenüber »elementarer Äquivalenz« (A ≡ B), wo zwei Strukturen dieselben ersten-Ordnung-Sätze erfüllen, aber keine elementare Einbettung der einen in die andere existiert; eine Teilstruktur ist nur dann elementar, wenn Inklusion und Formel-Erhaltung zusammenfallen.

Synthese

Eine elementare Teilstruktur ist ein Teilmodell, dessen Inklusion die Wahrheit jeder ersten-Ordnung-Formel mit Parametern aus dem Teilmodell erhält, wodurch das kleinere Modell gegenüber dem größeren bezüglich Formeln mit Referenzen auf die kleineren Elemente ununterscheidbar wird.