Una subestructura A de una estructura B (en el mismo lenguaje de primer orden) tal que para toda fórmula de primer orden φ(x1,...,xn) y todo n-tuplo a de A, se cumple B ⊨ φ(a) si y solo si A ⊨ φ(a). Suele notarse A ≺ B.

Principio

La elementalidad exige concordancia exacta en la verdad de todas las fórmulas de primer orden con parámetros de la estructura menor; es más fuerte que ser una subestructura y asegura preservación completa de la estructura lógica respecto de parámetros en A.

Demostración

Sea A una submodelo de B obtenido cerrando un conjunto bajo operaciones definibles; si toda fórmula con parámetros en A que es verdadera en B ya es verdadera en A, entonces A es elemental en B. Por ejemplo, toda estructura se inserta como subestructura elemental de un ultraproducto mediante la inclusión diagonal garantizada por el teorema de Łoś.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier inclusión o subestructura inducida como elemental; por ejemplo, pensar que el cuerpo de los racionales Q es subestructura elemental del cuerpo de los reales R en el lenguaje de anillos es falso, porque R satisface afirmaciones existenciales sobre raíces que Q no satisface.

Consecuencia

Si A ≺ B, los tipos sobre A realizados en B ya están realizados en A cuando se describen por fórmulas con parámetros en A; la transferencia de satisfacibilidad permite usar compacidad y argumentos ida-y-vuelta para comparar estructuras y construir isomorfismos en contextos adecuados.

Inversión

La inversión es una subestructura no elemental: A ⊆ B es subestructura pero existe una fórmula con parámetros de A verdadera en B y falsa en A. Esta inversión evidencia la falla de preservación incluso para fórmulas existenciales o universales simples.

Límite

Se aplica a lenguajes de primer orden y requiere que ambas estructuras compartan el mismo lenguaje e interpretación de símbolos; no se generaliza directamente a lógicas de orden superior, subobjetos en teoría de categorías ni a la mera equivalencia elemental sin inclusión.

Tensión semántica

Tensión con 'equivalencia elemental' (A ≡ B) donde dos estructuras satisfacen las mismas oraciones de primer orden pero no necesariamente existe una inclusión elemental; una subestructura es elemental solo cuando inclusión y preservación de fórmulas coinciden.

Síntesis

Una subestructura elemental es un submodelo cuya inclusión preserva la verdad de cada fórmula de primer orden con parámetros del submodelo, asegurando que el modelo menor sea indistinguible lógicamente del mayor cuando solo se hacen referencias a elementos del menor.