Une structure mathématique constituée d'un domaine et d'interprétations des symboles d'une signature formelle (constantes, fonctions, relations) qui rend vraies dans cette structure toutes les phrases d'une théorie donnée.

Principe

Un modèle réalise sémantiquement des symboles syntaxiques : la vérité des phrases se juge en attribuant des significations aux symboles dans une structure concrète de sorte que les axiomes de la théorie soient satisfaits.

Démonstration

L'ensemble G muni d'une opération binaire * et d'un élément identité e qui vérifie l'associativité, l'identité et l'existence d'inverses est un modèle de la théorie des groupes au premier ordre ; les entiers relatifs avec l'addition et zéro sont un modèle de la théorie des groupes abéliens.

Mauvaise application

Considérer tout objet algébrique comme un modèle sans vérifier la signature complète ou en tolérant des opérations partielles (par exemple traiter un semi-groupe sans identité comme modèle des axiomes de groupe) constitue une mauvaise application.

Conséquence

Identifier correctement les modèles permet de transférer des conséquences sémantiques aux structures concrètes, de produire des contre‑exemples à des propositions et de classifier des classes de structures par leurs théories.

Inversion

Plutôt que d'interpréter une théorie par une structure, on peut partir d'une théorie et rechercher les structures qui la réalisent ; dans l'extrême, une théorie sans modèles est inconsistante et la perspective sémantique s'effondre.

Limite

S'applique aux structures dans un langage logique précisé (généralement du premier ordre) ; exclut les objets mathématiques informels ou insuffisamment spécifiés, les logiques non standards sauf mention contraire, et les structures partielles quand la totalité des opérations est exigée par la signature.

Tension sémantique

La notion concurrente « structure algébrique » met l'accent sur les opérations et axiomes présentés comme objets, tandis que « modèle » insiste sur la satisfaction dans un domaine sémantique — la tension oppose présentation syntaxique et réalisation sémantique.

Synthèse

Un modèle est l'incarnation sémantique d'une signature formelle et de ses phrases : en interprétant les symboles sur un domaine pour que les énoncés de la théorie soient vrais, il relie axiomes syntaxiques et structures concrètes et permet le raisonnement sémantique.