Eine mathematische Struktur, bestehend aus einer Trägerset sowie Interpretationen der Symbole einer formalen Signatur (Konstanten, Funktionen, Relationen), die in dieser Struktur alle Formel der gegebenen Theorie wahr macht.

Prinzip

Ein Modell liefert eine semantische Realisierung syntaktischer Symbole: Wahrheitswerte von Formeln werden durch Bedeutungszuweisung der Symbole in einer konkreten Struktur bestimmt, sodass die Axiome der Theorie erfüllt sind.

Demonstration

Die Menge G mit einer binären Verknüpfung * und einem neutralen Element e, die Assoziativität, Neutralität und Inverse erfüllt, ist ein Modell der prädikatenlogischen Gruppentheorie; die ganzen Zahlen mit Addition und Null sind ein Modell der Theorie abelscher Gruppen.

Fehlanwendung

Zu fälschlichem Gebrauch gehört, ein beliebiges algebraisches Objekt ohne Prüfung der kompletten Signatur als Modell zu betrachten oder partielle Operationen zuzulassen (z. B. ein Halbgruppe ohne Identität als Gruppenmodell).

Konsequenz

Das korrekte Bestimmen von Modellen erlaubt es, semantische Folgerungen auf konkrete Strukturen zu übertragen, Gegenbeispiele zu liefern und Klassen von Strukturen durch ihre Theorien zu klassifizieren.

Umkehrung

Statt die Theorie durch eine Struktur zu interpretieren, fragt man umgekehrt, welche Strukturen eine Theorie realisieren; hat eine Theorie keine Modelle, ist sie inkonsistent und die semantische Perspektive bricht zusammen.

Abgrenzung

Gilt für Strukturen in einer festgelegten logischen Sprache (häufig erste Stufe); schließt informelle oder unzureichend spezifizierte Objekte, nichtstandardmäßige Logiken ohne ausdrückliche Erlaubnis und partielle Strukturen aus, wenn Totalität verlangt ist.

Semantische Spannung

Der konkurrierende Begriff «algebraische Struktur» betont die präsentierten Operationen und Axiome als Objekte, während «Modell» die Erfüllung in einem semantischen Bereich hervorhebt — Spannung zwischen syntaktischer Präsentation und semantischer Realisierung.

Synthese

Ein Modell ist die semantische Verkörperung einer formalen Signatur und ihrer Sätze: Durch Interpretation der Symbole auf einem Träger, so dass die Theoriesätze wahr werden, verbindet es syntaktische Axiome mit konkreten Strukturen und ermöglicht semantisches Schlussfolgern.