Lemme de finitude élémentaire : si A est une algèbre de type fini sur un corps k et qu'en plus A est un corps, alors A est une extension finie (algébrique) de k. Autrement dit, tout élément de A est algébrique sur k, de sorte que la génération finie comme algèbre se réduit à la finitude de dimension comme k-espace vectoriel.

Principe

Dépendance algébrique découlant de la génération finie : des générateurs en nombre fini sur k satisfont des relations algébriques qui contraignent chaque générateur à être algébrique quand l'algèbre n'a pas d'idéaux non triviaux ; la génération finie et l'absence d'idéaux non triviaux impliquent l'algébriicité des générateurs sur le corps de base.

Démonstration

Exemple : si k[x] était un corps, x serait algébrique sur k et l'anneau de polynômes se réduirait à k[x]/(f) avec f irréductible, donc k[x] ne peut être un corps sauf si x est algébrique ; de façon générale si A = k[a1,…,an] est un corps alors chaque ai satisfait un polynôme sur k et A est de dimension finie sur k.

Mauvaise application

Appliquer le lemme à des algèbres qui ne sont pas de type fini, ou à des anneaux de base qui ne sont pas des corps. Par exemple, une extension de corps infiniment générée comme algèbre peut ne pas être finie ; l'application incorrecte du lemme conduirait à conclure faussement l'algébricité ou la finitude sans l'hypothèse de génération finie.

Conséquence

Donne un critère simple pour détecter algébricité et finitude : lorsqu'une k-algèbre de type fini est un corps, des théorèmes structurels s'appliquent (par exemple on déduit que les anneaux de coordonnées d'une variété affine irréductible qui sont des corps ont dimension zéro). On l'utilise largement pour montrer que les idéaux maximaux d'algèbres de type fini ont des corps résiduels finis sur la base.

Inversion

La réciproque est immédiate : toute extension finie de k est une k-algèbre de type fini et est un corps ; la tension ne réside pas dans l'équivalence logique mais dans l'applicabilité — la finitude de dimension comme k-espace est à la fois nécessaire et suffisante pour qu'une algèbre soit un corps dans le cadre de la génération finie.

Limite

Nécessite que la base soit un corps et que l'algèbre soit de type fini comme algèbre sur ce corps. Ne s'applique pas aux algèbres sur des anneaux, aux algèbres infiniment générées, ni aux modules simplement de type fini sur des bases non corps.

Tension sémantique

Tension entre les notions « algèbre de type fini » et « extension finie (module) » : la génération finie comme algèbre est a priori plus faible que la finitude comme espace vectoriel, mais en présence d'une structure de corps elles coïncident. Cela se situe à proximité d'autres résultats de finitude comme le Nullstellensatz et des énoncés de type Dedekind.

Synthèse

Le Lemme de Zariski affirme qu'une algèbre de type fini sur un corps qui est elle‑même un corps doit être une extension algébrique finie du corps de base, transformant les générateurs algébriques en éléments algébriques et faisant coïncider génération algébrique et finitude de dimension vectorielle.