Ein grundlegendes Finitheitsergebnis in der Algebra: Ist A eine endlich erzeugte Algebra über einem Körper k und ist A selbst ein Körper, dann ist A eine endliche (algebraische) Erweiterung von k. Anders formuliert: Jedes Element von A ist algebraisch über k, sodass die endlich erzeugte Algebra endlichdimensional als k-Vektorraum wird.

Prinzip

Algebraische Abhängigkeit aus endlicher Erzeugung: Endlich viele Erzeuger über k erfüllen algebraische Beziehungen, die jeden Erzeuger zwingen, algebraisch zu sein, wenn die Algebra keine nichttrivialen Ideale besitzt; endliche Erzeugung zusammen mit dem Fehlen nichttrivialer Ideale impliziert Algebraizität der Erzeuger über dem Grundkörper.

Demonstration

Beispiel: Wäre k[x] ein Körper, so wäre x algebraisch über k und der Polynomring würde zu k[x]/(f) mit irreduziblem f zusammenfallen; daher kann k[x] nur dann ein Körper sein, wenn x algebraisch ist. Allgemeiner: Ist A = k[a1,…,an] ein Körper, so erfüllt jeder ai ein Polynom über k und A ist endlichdimensional über k.

Fehlanwendung

Den Satz auf nicht endlich erzeugte Algebren oder auf Basen, die keine Körper sind, anwenden. Eine Körpererweiterung, die als Algebra unendlich erzeugt ist, muss nicht endlich sein; eine falsche Anwendung des Lemmas würde ohne die Endlichkeitsannahme fälschlich Algebraizität oder Endlichkeit behaupten.

Konsequenz

Gibt ein einfaches Kriterium zur Erkennung von Algebraizität und Endlichkeit: Ist eine endlich erzeugte k-Algebra ein Körper, so gelten wichtige Strukturresultate (z. B. dass Koordinatenringe affiner irreduzibler Varietäten, die Körper sind, Dimension null haben). Man nutzt es häufig, um zu zeigen, dass maximale Ideale in endlich erzeugten Algebren endliche Restklassenkörper über der Basis haben.

Umkehrung

Die Konverse ist offensichtlich: Jede endliche Erweiterung von k ist eine endlich erzeugte k-Algebra und ein Körper; die Spannung liegt nicht in der logischen Äquivalenz, sondern in der Anwendbarkeit — Endlichdimensionalität als k-Vektorraum ist in Kontexten endlicher Erzeugung sowohl notwendig als hinreichend für das Feldsein der Algebra.

Abgrenzung

Erfordert, dass die Basis ein Körper ist und die Algebra als Algebra über diesem Körper endlich erzeugt ist. Gilt nicht für Algebren über Ringen, für unendlich erzeugte Algebren oder für Moduln, die lediglich endlich erzeugt über Nicht-Körpern sind.

Semantische Spannung

Spannung zwischen den Begriffen "als Algebra endlich erzeugt" und "als Modul endlich" : Endliche Erzeugung als Algebra ist schwächer als Endlichkeit als Modul, doch im Falle eines Körpergrundes fallen sie zusammen. Das Ergebnis liegt nahe bei anderen Finitheitsaussagen wie dem Nullstellensatz und Dedekind-Resultaten.

Synthese

Das Zariski-Lemma besagt, dass eine endlich erzeugte Algebra über einem Körper, die selbst ein Körper ist, eine endliche algebraische Erweiterung des Grundkörpers sein muss und so die algebraischen Erzeuger in algebraische Elemente verwandelt und Erzeugung in endliche Dimensionalität überführt.