Lema básico de finitud en álgebra: si A es una álgebra finitamente generada sobre un cuerpo k y A resulta ser un cuerpo, entonces A es una extensión finita (algebraica) de k. Equivalentemente, todo elemento de A es algebraico sobre k, de modo que la generación finita como álgebra colapsa a finitud de dimensión como espacio vectorial sobre k.

Principio

Dependencia algebraica derivada de la generación finita: generadores finitos sobre k satisfacen relaciones algebraicas que fuerzan a cada generador a ser algebraico cuando la álgebra no tiene ideales no triviales; la generación finita más la ausencia de ideales no triviales implica la algebraicidad de los generadores sobre el cuerpo base.

Demostración

Ejemplo: si k[x] fuera un campo, x sería algebraico sobre k y el anillo de polinomios se reduciría a k[x]/(f) con f irreducible, por tanto k[x] no puede ser campo a menos que x sea algebraico; de forma general si A = k[a1,…,an] es un campo entonces cada ai satisface un polinomio sobre k y A es de dimensión finita sobre k.

Aplicación incorrecta

Aplicar el lema a álgebras que no son finitamente generadas, o a bases que no son cuerpos. Por ejemplo, una extensión de campos generada infinitamente como álgebra no tiene por qué ser finita; el uso indebido del lema aquí concluye erróneamente algebraicidad o finitud sin la hipótesis de generación finita.

Consecuencia

Proporciona un criterio simple para detectar algebraicidad y finitud: cuando una k-álgebra finitamente generada es un campo, se aplican teoremas estructurales importantes (por ejemplo, que los anillos de coordenadas de variedades afines irreducibles que son cuerpos tienen dimensión cero). Se usa ampliamente para probar que los ideales maximales en álgebras finitamente generadas tienen cuerpos residuales finitos sobre la base.

Inversión

La recíproca es inmediata: cualquier extensión finita de k es una álgebra finitamente generada sobre k y es un campo; la tensión no está en la equivalencia lógica sino en la aplicabilidad — la finitud de dimensión como espacio vectorial es necesaria y suficiente para que la álgebra sea campo en contextos de generación finita.

Límite

Requiere que la base sea un cuerpo y que la álgebra sea finitamente generada como álgebra sobre ese cuerpo. No se aplica a álgebras sobre anillos, a álgebras generadas infinitamente, ni a módulos simplemente finitamente generados sobre bases que no son cuerpos.

Tensión semántica

Tensión entre las nociones "álgebra finitamente generada" y "extensión finita (módulo)": la generación finita como álgebra es a priori más débil que la finitud como espacio vectorial, pero en presencia de estructura de campo coinciden. Está cercana a otros resultados de finitud como el Nullstellensatz y afirmaciones tipo Dedekind.

Síntesis

El Lema de Zariski afirma que una álgebra finitamente generada sobre un campo que es a su vez un campo debe ser una extensión algebraica finita del campo base, convirtiendo generadores algebraicos en elementos algebraicos y haciendo coincidir generación algebraica con finitud de dimensión vectorial.