Énoncé concernant des modules de type fini sur un anneau local (ou plus généralement sur un anneau dont on considère le radical de Jacobson J) : si M est un R-module de type fini et M = J·M alors M = 0 ; de façon équivalente, des éléments dont les images engendrent M/JM se relèvent en un système engendrant M.

Principe

Le rôle décisif du radical maximal (ou du radical de Jacobson) pour passer de la génération modulo le radical à la génération sur l'anneau entier pour des modules de type fini.

Démonstration

Soit (R,m) un anneau local et M un R-module de type fini. Si x1,...,xn ont des images qui engendrent M/mM alors x1,...,xn engendrent M ; en particulier, si M = mM alors M = 0.

Mauvaise application

Appliquer le lemme à des modules non de type fini, à des anneaux non locaux (ou sans vérifier l'hypothèse sur le radical de Jacobson), ou conclure des propriétés de génération sans vérifier la condition sur le radical.

Conséquence

Assure l'existence et la stabilité (à multiplication par des unités près) de systèmes minimaux de générateurs pour les modules de type fini sur des anneaux locaux ; outil central pour des arguments sur les dimensions, le changement de base et les relèvements.

Inversion

Si un ensemble n'engendre pas M modulo mM alors il n'engendre pas M ; inversement, des informations de génération sur R ne sont pas nécessairement visibles modulo m sans les hypothèses de finitude et de radical.

Limite

Nécessite la finitude du module et l'hypothèse convenable sur le radical (idéal maximal dans le cas local ou radical de Jacobson dans la formulation générale) ; ne vaut pas pour des modules quelconques ni sans condition sur le radical.

Tension sémantique

Tension entre la perspective locale/modulo-radical (test local et finitaire de génération) et le comportement global des modules où des critères locaux peuvent échouer ; on confond parfois Nakayama avec un énoncé valable pour tout anneau.

Synthèse

Le lemme de Nakayama affirme que, pour des modules de type fini, la génération peut être testée modulo le radical de Jacobson et que l'annulation modulo ce radical entraîne l'annulation, faisant du radical l'obstruction essentielle au relèvement des générateurs.