Afirmación sobre módulos finitamente generados sobre un anillo local (o más generalmente sobre un anillo con radical de Jacobson J): si M es un R-módulo finitamente generado y M = J·M entonces M = 0; equivalentemente, un conjunto cuyos imágenes generan M/JM se eleva para generar M.

Principio

El papel determinante del ideal maximal (o del radical de Jacobson) al pasar de la generación módulo el radical a la generación sobre todo el anillo para módulos finitamente generados.

Demostración

Sea (R,m) un anillo local y M un R-módulo finitamente generado. Si x1,...,xn tienen imágenes que generan M/mM entonces x1,...,xn generan M; en particular, si M = mM entonces M = 0.

Aplicación incorrecta

Aplicar el lema a módulos no finitamente generados, a anillos no locales (o sin comprobar la hipótesis sobre el radical de Jacobson), o concluir propiedades de generación sin verificar la condición sobre el radical.

Consecuencia

Proporciona la existencia y la estabilidad (hasta multiplicación por unidades) de conjuntos mínimos de generadores para módulos finitamente generados sobre anillos locales y es una herramienta clave en argumentos sobre dimensiones, cambio de base y elevación de generadores.

Inversión

Si un conjunto no genera M módulo mM, entonces no genera M; a la inversa, datos sobre generadores sobre R no son necesariamente visibles módulo m sin las hipótesis de finitud y radical.

Límite

Requiere la finitud del módulo y la hipótesis adecuada sobre el radical (ideal maximal en el caso local o radical de Jacobson en la forma general); no es válida para módulos arbitrarios ni sin la condición sobre el radical.

Tensión semántica

Tensión entre la perspectiva local/modulo-radical (una prueba finita para la generación) y el comportamiento global de módulos donde criterios locales pueden fallar; a veces se confunde Nakayama con una afirmación válida para cualquier anillo.

Síntesis

El lema de Nakayama afirma que, para módulos finitamente generados, la generación puede comprobarse módulo el radical de Jacobson y que la anulación módulo ese radical implica anulación, haciendo del radical la obstrucción clave para elevar generadores.