Aussage über endlich erzeugte Moduln über einem lokalen Ring (oder allgemein über einem Ring mit Jacobson-Radikal J): Ist M ein endlich erzeugter R-Modul und M = J·M, dann ist M = 0; äquivalent: Elemente, deren Bilder M/JM erzeugen, lassen sich zu Erzeugern von M heben.

Prinzip

Die bestimmende Rolle des maximalen (bzw. Jacobson-)Radikals beim Übergang von Erzeugung modulo Radikal zur Erzeugung über den ganzen Ring für endlich erzeugte Moduln.

Demonstration

Sei (R,m) ein lokaler Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul. Wenn x1,...,xn die Bilder liefern, die M/mM erzeugen, dann erzeugen x1,...,xn M; insbesondere, wenn M = mM, folgt M = 0.

Fehlanwendung

Anwendung des Lemmas auf nicht endlich erzeugte Moduln, auf nicht-lokale Ringe (oder ohne die Jacobson-Radikal-Bedingung), oder das Schließen auf Erzeugungseigenschaften ohne Prüfung der Radikalbedingung.

Konsequenz

Gewährleistet Existenz und Unveränderlichkeit (bis auf Multiplikation mit Einheiten) minimaler Erzeugermengen für endlich erzeugte Moduln über lokalen Ringen und ist ein zentrales Werkzeug bei Argumenten zu Dimension, Basiswechsel und Hebungseigenschaften.

Umkehrung

Wenn eine Menge M nicht modulo mM erzeugt, dann kann sie M nicht erzeugen; umgekehrt sind Informationen über Erzeuger über R ohne Finitheits- und Radikalannahmen nicht notwendigerweise modulo m erkennbar.

Abgrenzung

Setzt Endlichkeit des Moduls und die passende Radikalannahme voraus (maximales Ideal im lokalen Fall oder Jacobson-Radikal in der allgemeinen Form); gilt nicht für beliebige Moduln oder ohne Radikalbedingung.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der lokalen/modulo-Radikal-Perspektive (ein finiter Test für Erzeugung) und globalem Modulverhalten, wo lokale Kriterien versagen können; Nakayama wird mitunter fälschlich als allgemeine Aussage über beliebige Ringe verstanden.

Synthese

Das Nakayama-Lemma besagt, dass bei endlich erzeugten Moduln die Erzeugung modulo des Jacobson-Radikals genügt, um Erzeugung über den ganzen Ring zu garantieren, und dass das Verschwinden modulo dieses Radikals Verschwindens impliziert.