La longueur de Loewy d'un module M (ou d'une algèbre vue comme module sur elle‑même) est le plus petit entier n tel que la filtration de Loewy (par les socles) atteigne M en n étapes : 0 = L_0 ⊂ L_1 ⊂ ··· ⊂ L_n = M avec chaque quotient L_{i+1}/L_i égal au socle de M/L_i.

Principe

Mesure le nombre de couches semi‑simples nécessaires pour construire l'objet à partir de sous‑modules simples en adjoint itérativement le socle ; quantifie la profondeur de la non semi-simplicité.

Démonstration

Exemple : pour l'algèbre locale k[x]/(x^n) vue comme module régulier, le socle est engendré par x^{n-1} et la longueur de Loewy du module régulier vaut n. Pour un module semi-simple la longueur de Loewy est 1.

Mauvaise application

Confondre longueur de Loewy et longueur de composition ou dimension de Krull ; contrairement à la longueur de composition, la longueur de Loewy compte des couches de socle et peut être finie alors que la longueur de composition est infinie (ou inversement).

Conséquence

Une longueur de Loewy finie fournit une filtration finie par couches semi‑simples, facilite les raisonnements par induction et est liée aux indices de nilpotence des radicaux : pour les modules artiniens l'indice de nilpotence du radical de Jacobson contrôle la longueur de Loewy du module régulier.

Inversion

Une longueur de Loewy égale à 1 caractérise les objets semi‑simples ; une longueur plus grande traduit des couches successives d'extensions entre constituants simples.

Limite

S'applique aux modules sur des anneaux où le socle est bien défini (typiquement sous ACC/DCC) ; pour des modules sans socle bien comporté ou certains modules infinis, la série de Loewy peut ne pas se stabiliser ou nécessiter des étapes transfinites.

Tension sémantique

Tension entre longueur de Loewy et longueur de composition : les deux mesurent la 'taille' d'un module mais selon des filtrations différentes (couches de socle vs facteurs simples de Jordan–Hölder), ce qui donne des invariants distincts pour les problèmes d'extensions.

Synthèse

La longueur de Loewy est un comptage de couches : le nombre minimal d'itérations du socle pour reconstituer le module, offrant une mesure discrète de l'éloignement à la semi‑simplicité et se reliant à la nilpotence des radicaux en contexte artinien.