Die Loewy-Länge eines Moduls M (oder einer Algebra als Modul über sich selbst) ist die kleinste Zahl n, so dass die Loewy-(Socle-)Filtration nach n Schritten M erreicht: 0 = L_0 ⊂ L_1 ⊂ ··· ⊂ L_n = M mit jedem Quotienten L_{i+1}/L_i als Socle von M/L_i.

Prinzip

Misst die Anzahl semisimpler 'Schichten', die benötigt werden, um das Objekt aus einfachen Teilmodulen durch sukzessives Hinzufügen des Socles aufzubauen; quantifiziert die Tiefe der Nichtsemisimpelität.

Demonstration

Beispiel: Für die lokale Algebra k[x]/(x^n) als reguläres Modul ist das Socle von der Klasse x^{n-1} erzeugt und die Loewy‑Länge des regulären Moduls ist n. Ein semisimpler Modul hat Loewy‑Länge 1.

Fehlanwendung

Die Loewy-Länge mit der Kompositionslänge oder der Krulldimension zu verwechseln; im Gegensatz zur Kompositionslänge zählt die Loewy‑Länge Socle‑Schichten und kann in einigen Fällen unterschiedlich reagieren (endlich/ungleichendlich).

Konsequenz

Endliche Loewy‑Länge liefert eine natürliche endliche Filtration durch semisimple Schichten, vereinfacht Induktionsargumente und steht in engem Zusammenhang mit Nilpotenzindizes von Radikalen: bei artinischen Modulen kontrolliert die Nilpotenz des Jacobson‑Radikals die Loewy‑Länge des regulären Moduls.

Umkehrung

Loewy‑Länge gleich 1 kennzeichnet semisimple Objekte; größere Loewy‑Längen zeigen sukzessive Schichten von Erweiterungen zwischen einfachen Komponenten an.

Abgrenzung

Gilt für Module über Ringen, bei denen das Socle sinnvoll ist (typischerweise unter ACC/DCC); für Module ohne wohldefiniertes Socle oder für bestimmte unendliche Module kann die Loewy‑Reihe nicht stabilisieren oder transfinit Schritte erfordern.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Loewy‑Länge und Kompositionslänge: Beide messen ‚Größe‘ der Modulstruktur, aber über verschiedene Filtrationen (Socle‑Schichten vs. Jordan‑Hölder‑Faktoren), was zu unterschiedlichen Invarianten in Erweiterungsfragen führt.

Synthese

Die Loewy‑Länge ist eine Zählung der Schichten: die minimale Anzahl von Socle‑Iterationen, um das Modul aufzubauen, sie liefert ein diskretes Maß für das Abweichen von Semisimpelität und verbindet sich in artinischen Fällen mit der Nilpotenz der Radikale.