La longitud de Loewy de un módulo M (o de una álgebra vista como módulo sobre sí misma) es el menor entero n tal que la filtración de Loewy (por socles) alcanza M en n pasos: 0 = L_0 ⊂ L_1 ⊂ ··· ⊂ L_n = M, donde cada cociente L_{i+1}/L_i es el socle de M/L_i.

Principio

Mide el número de 'capas' semisimples necesarias para construir el objeto a partir de submódulos simples añadiendo iterativamente el socle; cuantifica la profundidad de la no semisimplicidad.

Demostración

Ejemplo: Para la álgebra local k[x]/(x^n) vista como módulo regular, el socle está generado por x^{n-1} y la longitud de Loewy del módulo regular es n. Un módulo semisimple tiene longitud de Loewy 1.

Aplicación incorrecta

Confundir la longitud de Loewy con la longitud de composición o la dimensión de Krull; a diferencia de la longitud de composición, la longitud de Loewy cuenta capas de socle y puede comportarse de modo distinto frente a finitud o infinitud.

Consecuencia

La longitud de Loewy finita da una filtración finita por capas semisimples, facilita argumentos inductivos y está estrechamente relacionada con índices de nilpotencia de radicales: para módulos artinianos la nilpotencia del radical de Jacobson controla la longitud de Loewy del módulo regular.

Inversión

Longitud de Loewy igual a 1 caracteriza objetos semisimples; una longitud mayor indica capas sucesivas de extensiones entre constituyentes simples.

Límite

Se aplica a módulos sobre anillos donde el socle tiene sentido (típicamente bajo ACC/DCC); para módulos sin socle bien comportado o ciertos módulos infinitos la serie de Loewy puede no estabilizar o requerir pasos transfinitos.

Tensión semántica

Tensión entre longitud de Loewy y longitud de composición: ambas miden la 'talla' de un módulo pero según filtraciones distintas (capas de socle vs factores simples de Jordan–Hölder), dando invariantes diferentes en problemas de extensiones.

Síntesis

La longitud de Loewy es un recuento por capas: el número mínimo de iteraciones de socle para ensamblar el módulo; proporciona una medida discreta de la distancia a la semisimplicidad y se relaciona con la nilpotencia de los radicales en contextos artinianos.