La codimension est une mesure numérique comparant la dimension ambiante à la dimension d'un sous-objet ; pour un idéal premier p dans un anneau noethérien R, la cohauteur (codimension) est dim(R) - hauteur(p), et pour une sous-variété c'est la différence entre la dimension ambiante et celle de la sous-variété.

Principe

Quantifier combien de contraintes indépendantes sont imposées en passant de l'objet ambiant au sous-objet : la codimension compte la chute de la dimension de Krull et est additive dans les situations géométriques régulières attendues.

Démonstration

Dans R = k[x,y,z] (dim 3), l'idéal d'un plan défini par une équation linéaire a codimension 1 ; l'idéal d'une droite défini par deux équations linéaires indépendantes a codimension 2, correspondant à la perte de dimension.

Mauvaise application

Supposer que la codimension est égale au nombre minimal de générateurs de l'idéal définissant dans tous les cas ; en présence de singularités ou d'intersections non complètes, le nombre minimal de générateurs peut dépasser la codimension.

Conséquence

La codimension prédit les dimensions d'intersection attendues et intervient dans les formules de dimension, les énoncés de dualité et le comptage de paramètres pour les familles : un sous-objet de codimension c réduit localement c dimensions de l'ambient.

Inversion

Le point de vue complémentaire est la hauteur : au lieu de mesurer combien un objet est loin de l'ambient, la hauteur mesure combien il est élevé au-dessus du bas de Spec(R) ; la codimension se voit comme la hauteur mesurée depuis le sommet.

Limite

La codimension exige une notion de dimension ambiante ; dans des anneaux sans dimension de Krull finie la différence naïve peut être indéfinie ou infinie. Pour des sous-schémas non premiers la codimension peut être schématique et différer de la codimension topologique naïve.

Tension sémantique

La codimension en géométrie algébrique peut être en tension avec la codimension en algèbre linéaire (dimension du quotient) lorsque la structure schématique ou les singularités interviennent ; la codimension algébrique est krullienne plutôt que fondée sur le nombre de générateurs.

Synthèse

La codimension mesure la perte de dimension de Krull lors de la restriction à un sous-objet : un invariant de base pour comptabiliser combien de conditions indépendantes ou d'équations définissent ce sous-objet par rapport à son espace ambiant.