Definición
La codimensión es una medida numérica que compara la dimensión ambiente con la dimensión de un subobjeto; para un ideal primo p en un anillo noetheriano R, la coaltura (codimensión) es dim(R) - altura(p), y para una subvariedad es la diferencia entre la dimensión ambiente y la de la subvariedad.
Principio
Principio
Cuantificar cuántas condiciones independientes impone pasar del objeto ambiente al subobjeto: la codimensión cuenta la caída en la dimensión de Krull y es aditiva en las situaciones geométricas regulares esperadas.
Demostración
Demostración
En R = k[x,y,z] (dim 3), el ideal de un plano definido por una ecuación lineal tiene codimensión 1; el ideal de una recta dado por dos ecuaciones lineales independientes tiene codimensión 2, coherente con la pérdida de dimensión.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Suponer que la codimensión es igual al número mínimo de generadores del ideal que define el subobjeto en todos los casos; en situaciones singulares o de intersecciones no completas el número mínimo de generadores puede superar la codimensión.
Consecuencia
Consecuencia
La codimensión predice dimensiones de intersección esperadas y aparece en fórmulas de dimensión, declaraciones de dualidad y en el conteo de parámetros para familias: un subobjeto de codimensión c reduce localmente c dimensiones del ambiente.
Inversión
Inversión
La visión complementaria es la altura: en lugar de medir cuánto se aleja un objeto del ambiente, la altura mide cuánto está por encima del fondo de Spec(R); la codimensión puede verse como la altura medida desde la cúspide.
Límite
Límite
La codimensión requiere una noción de dimensión ambiente; en anillos sin dimensión de Krull finita la diferencia puede ser indefinida o infinita. Para subschemes no primos la codimensión puede ser esquemática y diferir de la codimensión topológica.
Tensión semántica
Tensión semántica
La codimensión en geometría algebraica puede entrar en tensión con la codimensión lineal (dimensión del espacio cociente) cuando la estructura esquemática o las singularidades están presentes; la codimensión algebraica es krulliana y no meramente conteo de generadores.
Síntesis
Síntesis
La codimensión mide la pérdida de dimensión de Krull al restringir a un subobjeto: un invariante esencial para contabilizar cuántas condiciones independientes o ecuaciones definen ese subobjeto respecto a su espacio ambiente.