Kodimension ist ein numerisches Maß, das die Dimension des Umgebungsobjekts mit der Dimension eines Unterobjekts vergleicht; für ein Primideal p in einem noetherschen Ring R ist die Kohoehe (Kodimension) dim(R) - Höhe(p), und für eine Untervarietät ist es die Differenz zwischen der ambienten Dimension und der Dimension der Untervarietät.

Prinzip

Quantifiziere, wie viele unabhängige Bedingungen durch den Übergang vom Ambienten zum Unterobjekt auferlegt werden; Kodimension zählt den Abfall der Krull-Dimension und ist in erwarteten geometrischen Situationen additiv.

Demonstration

In R = k[x,y,z] (dim 3) hat das Ideal einer Ebene, das durch eine lineare Gleichung definiert ist, Kodimension 1; das Ideal einer Gerade, gegeben durch zwei unabhängige lineare Gleichungen, hat Kodimension 2, entsprechend dem Dimensionsabfall.

Fehlanwendung

Anzunehmen, Kodimension gleiche stets der minimalen Anzahl von Erzeugern des definierenden Ideals; in singulären Fällen oder bei Nichtvollständigen-Schnitten kann die minimale Erzeugerzahl die Kodimension überschreiten.

Konsequenz

Kodimension sagt erwartete Schnittdimensionen voraus und tritt in Dimensionsformeln, Dualitätsaussagen und bei der Zählung von Parametern für Familien auf: Ein Unterobjekt der Kodimension c schneidet lokal c Dimensionen vom Ambienten ab.

Umkehrung

Die komplementäre Sicht ist die Höhe: statt zu messen, wie weit ein Objekt von der Umgebung entfernt ist, misst die Höhe, wie weit es über dem unteren Rand von Spec(R) liegt; Kodimension kann als von oben gemessene Höhe gesehen werden.

Abgrenzung

Kodimension benötigt eine definierte Ambient-Dimension; in Ringen ohne endliche Krull-Dimension kann die naive Differenz undefiniert oder unendlich sein. Für nichtprime Unterschemata kann die kodimension schematisch sein und von der topologischen Kodimension abweichen.

Semantische Spannung

Kodimension in der algebraischen Geometrie kann mit linearalgebraischer Kodimension (Dimension des Quotientenraums) in Konflikt stehen, wenn schematische Struktur oder Singularitäten vorliegen; algebraische Kodimension ist krull-theoretisch und nicht nur Erzeugerzählerisch.

Synthese

Kodimension misst den Verlust an Krull-Dimension beim Beschränken auf ein Unterobjekt: ein grundlegendes Recheninvariant dafür, wie viele unabhängige Bedingungen oder Gleichungen dieses Unterobjekt relativ zum Ambienten erzwingen.