Pour un idéal premier p d'un anneau commutatif R, la hauteur de p est la borne supérieure des longueurs n de chaînes strictement croissantes d'idéaux premiers p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p ; c'est la codimension de Krull de p dans Spec(R).

Principe

Classer les idéaux premiers par inclusion : la hauteur compte le nombre d'étapes de contenance non triviales situées sous un idéal premier donné et mesure ainsi sa position dans le réseau d'inclusions de Spec(R).

Démonstration

Dans l'anneau de polynômes k[x,y], l'idéal nul (0) a hauteur 0, un premier principal comme (x) a hauteur 1, et un idéal maximal (x - a, y - b) a hauteur 2 ; ces chaînes illustrent les accroissements successifs de codimension.

Mauvaise application

Prendre la hauteur pour le nombre minimal de générateurs de l'idéal premier ou pour le nombre d'équations définissant la variété correspondante ; ce sont des invariants différents qui peuvent diverger en présence de singularités.

Conséquence

Connaître les hauteurs contrôle les comptages de dimension pour les localisés et les quotients : height(p) = dim(R_p), et les hauteurs apparaissent dans les formules de dimension et les stratifications de Spec(R).

Inversion

La notion duale est la cohauteur (codimension mesurée depuis les idéaux maximaux vers le bas) : au lieu de compter les idéaux sous p, on compte ceux qui le contiennent jusqu'aux maximaux.

Limite

Définie pour les idéaux premiers dans des anneaux où les chaînes d'idéaux premiers ont un sens ; pour un idéal quelconque on peut considérer la hauteur de ses idéaux premiers minimaux mais il n'y a pas toujours une hauteur canonique de l'idéal lui‑même ; en contexte non commutatif les distinctions gauche/droite modifient la notion.

Tension sémantique

La hauteur peut être confondue avec la profondeur (invariant homologique des modules) ou avec le nombre minimal de générateurs ; la hauteur relève de la dimension/ordre de Krull, la profondeur de suites régulières et de groupes Ext.

Synthèse

La hauteur d'un idéal premier est la position, au sens de la théorie de Krull, de cet idéal dans Spec(R) : un nombre indiquant combien d'inclusions propres de premiers aboutissent à lui, gouvernant la dimension locale et représentant la codimension géométrique du morceau correspondant.