Für ein Primideal p in einem kommutativen Ring R ist die Höhe von p das Supremum der Längen n streng wachsender Ketten von Primidealen p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p; äquivalent die Krull-Kodimension von p in Spec(R).

Prinzip

Ordne Primideale nach Inklusion: Die Höhe zählt, wie viele nichttriviale Einschrittunterteilungen unter einem gegebenen Primideal liegen und misst damit seine Lage im Inklusionsverband von Spec(R).

Demonstration

Im Polynomring k[x,y] über einem Körper k hat das Nullideal (0) Höhe 0, ein Hauptprimideal wie (x) hat Höhe 1 und ein maximales Ideal (x - a, y - b) hat Höhe 2; damit werden die sukzessiven Zunahmen der Kodimension sichtbar.

Fehlanwendung

Die Höhe mit der minimalen Anzahl von Erzeugern des Primideals oder mit der Anzahl von Gleichungen zur Definition der entsprechenden Varietät zu verwechseln; das sind verschiedene Invarianten, die in nichtregulären Fällen auseinanderlaufen können.

Konsequenz

Die Kenntnis der Höhen bestimmt Dimensionsangaben für Lokalisierungen und Quotienten: height(p) = dim(R_p), und Höhen treten in Dimensionsformeln und in Stratifizierungen von Spec(R) auf.

Umkehrung

Das umgekehrte Konzept ist die Kohoehe (Codimension gemessen von den maximalen Idealen nach unten): statt die Ideale unter p zu zählen, zählt man die Ideale über p bis hin zu den Maximalidealen.

Abgrenzung

Definiert für Primideale in Ringen, in denen Ketten von Primidealen sinnvoll sind; für beliebige (nichtprim) Ideale kann man Höhen ihrer minimalen Primideale betrachten, aber es gibt nicht immer eine eindeutige Höhe des Ideals selbst; in nichtkommutativen Kontexten ändern sich Links/Rechts-Unterscheidungen die Definition.

Semantische Spannung

Höhe wird leicht mit Tiefe (einem homologischen Modul-Invariant) oder mit der minimalen Anzahl von Erzeugern verwechselt; Höhe ist ein ordnungstheoretisch/krull-dimensionelles Konzept, Tiefe bezieht sich auf reguläre Folgen und Ext-Gruppen.

Synthese

Die Höhe eines Primideals ist die krulltheoretische Stellung dieses Ideals in Spec(R): eine Zahl, die angibt, wie viele echte Priminklusionen bei ihm enden, steuert die lokale Dimension und fungiert als geometrische Kodimension der entsprechenden Komponente.