Definición
Para un ideal primo p en un anillo conmutativo R, la altura de p es el supremo de las longitudes n de cadenas estrictamente crecientes de ideales primos p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p; equivalente a la codimensión de Krull de p en Spec(R).
Principio
Principio
Organizar los ideales primos por inclusión: la altura cuenta cuántos pasos de contención no triviales hay por debajo de un primo dado y mide su posición en la retícula de inclusiones de Spec(R).
Demostración
Demostración
En el anillo de polinomios k[x,y], el ideal cero (0) tiene altura 0, un primo principal como (x) tiene altura 1 y un ideal maximal (x - a, y - b) tiene altura 2; así las cadenas muestran los incrementos sucesivos de codimensión.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir la altura con el número mínimo de generadores del ideal primo o con el número de ecuaciones necesarias para definir la variedad correspondiente; son invariantes distintos que pueden diferir en casos singulares.
Consecuencia
Consecuencia
Conocer las alturas controla los recuentos de dimensión para localizaciones y cocientes: height(p) = dim(R_p), y las alturas aparecen en fórmulas de dimensión y en estratificaciones de Spec(R).
Inversión
Inversión
La noción dual es la coaltura (codimensión medida desde los ideales maximales hacia abajo): en lugar de contar los primos debajo de p, se cuentan los primos que lo contienen hasta los maximales.
Límite
Límite
Definida para ideales primos en anillos donde las cadenas de primos tienen sentido; para un ideal arbitrario se pueden considerar las alturas de sus primos minimales pero no siempre existe una altura canónica del ideal en sí; en contextos no conmutativos las distinciones izquierda/derecha alteran la noción.
Tensión semántica
Tensión semántica
La altura se confunde con facilidad con la profundidad (invariante homológica de módulos) o con el número mínimo de generadores; la altura es un concepto de orden/ dimensión de Krull, la profundidad involucra secuencias regulares y grupos Ext.
Síntesis
Síntesis
La altura de un ideal primo es la posición, en sentido de Krull, de ese primo dentro de Spec(R): una medida numérica de cuántas inclusiones propias de primos terminan en él, que controla la dimensión local y representa la codimensión geométrica de la pieza correspondiente.