Propriété d'un idéal ou d'un anneau local (ou gradué) signifiant qu'il peut être engendré par une suite régulière dont la longueur égale la codimension ; équivalemment l'anneau est le quotient d'un anneau régulier par une suite régulière.

Principe

Être défini par une suite régulière implique que les singularités et la complexité homologique sont contrôlées par le nombre minimal d'équations égal à la codimension, entraînant des résolutions périodiques ou finies prévisibles.

Démonstration

Si S est un anneau local régulier et I = (f1,...,fc) est engendré par une suite régulière de longueur c, alors R = S/I est une intersection complète de codimension c. Les anneaux hypersurfaces (c = 1) sont les intersections complètes les plus simples.

Mauvaise application

Supposer que tout idéal dont le nombre minimal de générateurs égale la codimension est une intersection complète ; les générateurs doivent former une suite régulière et non simplement être minimaux en cardinalité.

Conséquence

Les intersections complètes ont des invariants homologiques particulièrement simples (résolutions périodiques ou finies dans de nombreux cas), sont Gorenstein (donc Cohen–Macaulay) et leur théorie des déformations et des singularités est plus maniable.

Inversion

Les anneaux non intersection complète peuvent présenter une complexité homologique plus élevée, des résolutions non périodiques et l'absence des propriétés de dualité spéciales des intersections complètes.

Limite

S'énonce typiquement pour des idéaux dans des anneaux locaux réguliers ou des anneaux de polynômes gradués ; pour des anneaux ambiants non réguliers ou hors du contexte local la notion doit être adaptée et la condition de suite régulière vérifiée avec soin.

Tension sémantique

Tension avec Gorenstein et Cohen–Macaulay : toute intersection complète est Gorenstein (donc Cohen–Macaulay), mais les réciproques échouent ; la hiérarchie distingue des généralisations de plus en plus larges et complexes.

Synthèse

Une intersection complète est le quotient d'un anneau ambiant régulier par une suite régulière de longueur égale à la codimension ; cette exactitude des équations de coupure engendre de fortes simplifications homologiques et des singularités maîtrisées.