Propiedad de un ideal o de un anillo local (o graduado) que indica que puede estar generado por una sucesión regular cuya longitud es igual a la codimensión; equivalentemente el anillo es un cociente de un anillo regular por una sucesión regular.

Principio

Estar cortado por una sucesión regular significa que las singularidades y la complejidad homológica están controladas por el número mínimo de ecuaciones igual a la codimensión, produciendo resoluciones periódicas o finitas previsibles.

Demostración

Si S es un anillo local regular e I = (f1,...,fc) está generado por una sucesión regular de longitud c, entonces R = S/I es una intersección completa de codimensión c. Las hipersuperficies (c = 1) son las intersecciones completas más simples.

Aplicación incorrecta

Suponer que todo ideal cuyo número mínimo de generadores iguala la codimensión es una intersección completa; los generadores deben formar una sucesión regular, no ser meramente mínimos en cardinalidad.

Consecuencia

Las intersecciones completas tienen invariantes homológicos especialmente simples (resoluciones periódicas o finitas en muchos casos), son Gorenstein y su teoría de deformaciones y singularidades es más manejable.

Inversión

Las no intersecciones completas pueden presentar mayor complejidad homológica, resoluciones no periódicas y la ausencia de las propiedades de dualidad especiales de las intersecciones completas.

Límite

Suele enunciarse para ideales en anillos locales regulares o anillos de polinomios graduados; para anillos ambiente no regulares o fuera del contexto local la noción debe ajustarse y comprobar la condición de sucesión regular con cuidado.

Tensión semántica

Tensión con Gorenstein y Cohen–Macaulay: toda intersección completa es Gorenstein (por tanto Cohen–Macaulay), pero las recíprocas fallan; la jerarquía distingue grados crecientes de generalidad y complejidad.

Síntesis

Una intersección completa es el cociente de un anillo regular ambiente por una sucesión regular de longitud igual a la codimensión; esta exactitud en las ecuaciones de corte produce fuertes simplificaciones homológicas y singularidades controladas.