Eigenschaft eines Ideals oder eines lokalen (oder graduierten) Rings, dass es von einer regulären Folge erzeugt wird, deren Länge der Kodimension entspricht; äquivalent ist der Ring ein Quotient eines regulären Rings durch eine reguläre Folge.

Prinzip

Durch eine reguläre Folge geschnitten zu werden bedeutet, dass Singularitäten und homologische Komplexität durch die minimale Anzahl von Gleichungen (gleich der Kodimension) kontrolliert werden, was zu vorhersehbaren periodischen oder endlichen Auflösungen führt.

Demonstration

Ist S ein regulärer lokaler Ring und I = (f1,...,fc) von einer regulären Folge der Länge c erzeugt, so ist R = S/I ein vollständiger Schnitt der Kodimension c. Hypersurfaces (c = 1) sind die einfachsten vollständigen Schnitte.

Fehlanwendung

Anzunehmen, jedes Ideal mit minimaler Anzahl von Erzeugern gleich der Kodimension sei ein vollständiger Schnitt; die Erzeuger müssen eine reguläre Folge bilden und nicht nur minimal in der Mächtigkeit sein.

Konsequenz

Vollständige Schnitte haben besonders einfache homologische Invarianten (in vielen Fällen periodische oder endliche projektive Auflösungen), sind Gorenstein und ihre Deformations‑ und Singularitätstheorie ist leichter handhabbar.

Umkehrung

Nicht‑vollständige Schnitte können höhere homologische Komplexität, nicht periodische Auflösungen und das Fehlen besonderer Dualitätseigenschaften aufweisen.

Abgrenzung

Wird typischerweise für Ideale in regulären lokalen Ringen oder graduierten Polynomringen formuliert; für nichtreguläre Umgebungsringe oder außerhalb des lokalen Kontexts muss die Notion angepasst und die reguläre Folge sorgfältig überprüft werden.

Semantische Spannung

Spannung zu Gorenstein und Cohen–Macaulay: jeder vollständige Schnitt ist Gorenstein (und damit Cohen–Macaulay), aber die Umkehrungen sind im Allgemeinen falsch; die Hierarchie unterscheidet zunehmende Allgemeinheit und Komplexität.

Synthese

Ein vollständiger Schnitt ist der Quotient eines regulären Umgebungssystems durch eine reguläre Folge der Länge gleich der Kodimension; diese exakte Schnittbeschreibung führt zu starken homologischen Vereinfachungen und kontrollierten Singularitäten.