Propriété d'un anneau local noethérien ou d'un module signifiant que sa profondeur égale sa dimension de Krull (localement), c'est‑à‑dire qu'il atteint la profondeur maximale possible par rapport à sa dimension.

Principe

Maximisation de la non‑annulation des suites régulières : un objet Cohen–Macaulay admet des suites régulières de longueur maximale, réduisant ainsi les obstructions homologiques.

Démonstration

Les anneaux locaux réguliers et les anneaux de polynômes sont Cohen–Macaulay. Par exemple k[x1,...,xn] et leurs localisés ont profondeur n égale à leur dimension de Krull n.

Mauvaise application

Confondre Cohen–Macaulay avec la régularité ou la liberté : Cohen–Macaulay garantit profondeur = dimension mais n'implique pas que l'anneau soit régulier (la régularité exige une dimension globale finie).

Conséquence

Les anneaux Cohen–Macaulay bénéficient de propriétés homologiques et géométriques favorables : meilleur comportement de la profondeur par localisation, non‑mélange des idéaux, multiplicités bien‑comportées et théories de dualité utiles.

Inversion

Un anneau non Cohen–Macaulay a une profondeur strictement inférieure à sa dimension ; cela entraîne des motifs d'Ext plus compliqués, des primes associés immergés et une cohomologie locale pathologique.

Limite

Employé surtout pour des anneaux noethériens locaux ou gradués et des modules finiment engendrés ; hors du cadre noethérien ou sans notion de profondeur la condition peut être non définie ou nécessiter une adaptation.

Tension sémantique

Tension avec les conditions S_k de Serre et avec Gorenstein : Cohen–Macaulay équivaut à Serre S_dim mais des conditions supplémentaires (par ex. simplicité du module canonique) distinguent Gorenstein de Cohen–Macaulay.

Synthèse

La propriété Cohen–Macaulay identifie les anneaux ou modules dont la profondeur atteint la dimension, indiquant l'existence de suites régulières de longueur maximale et un comportement homologique et géométrique maîtrisé.