Propiedad de un anillo local noetheriano o de un módulo que significa que su profundidad coincide con su dimensión de Krull (localmente), es decir, alcanza la profundidad máxima posible respecto a su dimensión.

Principio

Maximización de la no anulación de sucesiones regulares: un objeto Cohen–Macaulay posee sucesiones regulares de la máxima longitud, reduciendo las obstrucciones homológicas.

Demostración

Los anillos locales regulares y los anillos de polinomios son Cohen–Macaulay. Por ejemplo, k[x1,...,xn] y sus localizaciones tienen profundidad n igual a su dimensión de Krull n.

Aplicación incorrecta

Confundir Cohen–Macaulay con regularidad o con ser libre: Cohen–Macaulay garantiza profundidad = dimensión pero no implica que el anillo sea regular (la regularidad exige dimensión global finita).

Consecuencia

Los anillos Cohen–Macaulay disfrutan de propiedades homológicas y geométricas favorables: mejor comportamiento de la profundidad bajo localización, no mezcla de ideales, multiplicidades bien comportadas y teorías de dualidad útiles.

Inversión

Un anillo no Cohen–Macaulay tiene profundidad menor que su dimensión; ello conduce a patrones de Ext más complejos, primos asociados embebidos y cohomología local patológica.

Límite

Se usa principalmente para anillos noetherianos locales o graduados y módulos finitamente generados; fuera del marco noetheriano o sin una noción de profundidad la condición puede quedar indefinida o requerir adaptación.

Tensión semántica

Tensión con las condiciones S_k de Serre y con Gorenstein: Cohen–Macaulay equivale a Serre S_dim, pero condiciones adicionales (p. ej. simplicidad del módulo canónico) distinguen Gorenstein de Cohen–Macaulay.

Síntesis

La condición Cohen–Macaulay identifica anillos o módulos cuya profundidad iguala a la dimensión, señalando la existencia de sucesiones regulares de máxima longitud y un comportamiento homológico y geométrico manejable.