Eigenschaft eines noetherschen lokalen Rings oder eines Moduls, dass seine Tiefe gleich seiner Krull‑Dimension ist (lokal); d. h. es wird die größtmögliche Tiefe im Verhältnis zur Dimension erreicht.

Prinzip

Maximale Nichtverschwinden regulärer Folgen: ein Cohen–Macaulay‑Objekt besitzt reguläre Folgen von maximaler Länge, wodurch homologische Hindernisse minimiert werden.

Demonstration

Reguläre lokale Ringe und Polynomringe sind Cohen–Macaulay. Beispielsweise haben k[x1,...,xn] und deren Lokalisierungen Tiefe n gleich der Krull‑Dimension n.

Fehlanwendung

Cohen–Macaulay mit Regularität oder Freiheitsgraden gleichzusetzen: Cohen–Macaulay sichert Tiefe = Dimension, impliziert aber nicht, dass der Ring regulär ist (Regularität verlangt endliche globale Dimension).

Konsequenz

Cohen–Macaulay‑Ringe besitzen vorteilhafte homologische und geometrische Eigenschaften: besseres Verhalten der Tiefe unter Lokalisierung, Unvermischtheit von Idealen, wohlverhaltene Multiplicitäten und Dualitätstheorien.

Umkehrung

Ein nicht Cohen–Macaulay‑Ring hat Tiefe < Dimension; dies führt zu komplizierteren Ext‑Mustern, eingebetteten assoziierten Primidealen und problematischer lokaler Kohomologie.

Abgrenzung

Am gebräuchlichsten für noethersche lokale oder graduierte Ringe und endlich erzeugte Module; außerhalb des noetherschen Rahmens oder ohne Begriff der Tiefe kann die Bedingung undefiniert sein oder Anpassung verlangen.

Semantische Spannung

Spannung zu Serres S_k‑Bedingungen und zu Gorenstein: Cohen–Macaulay entspricht Serre S_dim, aber zusätzliche Bedingungen (z. B. Einfachheit des kanonischen Moduls) trennen Gorenstein von Cohen–Macaulay.

Synthese

Cohen–Macaulayness kennzeichnet Ringe oder Module, deren Tiefe der Dimension entspricht, was die Existenz regulärer Folgen maximaler Länge und handhabbare homologische und geometrische Eigenschaften signalisiert.