Opération sur un tenseur ou une application multilinéaire qui projette sur sa partie symétrique en moyennant sur toutes les permutations des emplacements d'entrée, produisant un objet invariant par permutation des arguments.

Principe

Appliquer l'opérateur S = (1/n!) ∑_{σ∈S_n} σ, où σ permute les facteurs du tenseur (ou les arguments) ; en caractéristique où n! est inversible, il s'agit d'une projection idempotente sur le sous-espace symétrique.

Démonstration

Pour v⊗w dans V⊗V, la symétrisation donne (v⊗w + w⊗v)/2, représentant l'élément correspondant dans Sym^2(V) ; appliquée à des formes multilinéaires, elle produit des formes symétriques.

Mauvaise application

La moyenne par 1/n! échoue en caractéristique p divisant n! car n! peut être nul, donc considérer la moyenne comme projection peut être invalide ; de même, moyenniser seulement sur un sous-ensemble de permutations ne donne pas la vraie symétrie.

Conséquence

Produit des tenseurs ou formes symétriques utilisés pour définir des puissances symétriques, des polynômes symétriques et des constructions en théorie des invariants ; rend explicite la composante invariante par permutation.

Inversion

L'opération complémentaire est l'antisymétrisation ; inverser la symétrie produit la partie alternée en pondérant les permutations par leur signe, extrayant les composantes d'invariance antisymétriques.

Limite

S'applique aux objets multilinéaires et aux puissances tensorielles ; nécessite prudence sur des corps ou anneaux où les factorielles ne sont pas inversibles et ne préserve pas les relations algébriques non symétriques dépendant de l'ordre.

Tension sémantique

Proche de « symétriser par sommation » versus « symétriser en évaluant sur la diagonale » — la première est une projection par moyennage, la seconde consiste à restreindre aux arguments égaux ; elles coïncident pour les tenseurs multilinéaires mais diffèrent en interprétation opérationnelle.

Synthèse

La symétrisation est la projection canonique par moyennage qui extrait la composante invariante par permutation d'un objet multilinéaire, produisant des éléments des puissances symétriques et facilitant l'étude des invariants vis-à-vis du réarrangement des arguments.