Eine Operation auf einem multilinearen Tensor oder einer Abbildung, die auf den symmetrischen Anteil projiziert, indem über alle Permutationen der Eingabestellen gemittelt wird, so dass ein unter Permutation der Argumente invariantes Objekt entsteht.

Prinzip

Anwenden des Operators S = (1/n!) ∑_{σ∈S_n} σ, wobei σ die Tensorfaktoren (oder Argumente) permutiert; in Charakteristiken, in denen n! invertierbar ist, ergibt dies eine idempotente Projektion auf den symmetrischen Unterraum.

Demonstration

Für v⊗w in V⊗V liefert die Symmetrisierung (v⊗w + w⊗v)/2, welches das entsprechende Element in Sym^2(V) darstellt; auf multilineare Abbildungen angewandt ergibt sie symmetrische multilineare Formen.

Fehlanwendung

Das Mittel durch 1/n! versagt in Charakteristiken, die n! teilen, da n! dort null sein kann; deshalb ist die naive Mittelung dann kein gültiger Projektor. Ebenfalls falsch ist das Mittel über nur eine Teilmenge der Permutationen.

Konsequenz

Erzeugt symmetrische Tensoren oder Formen, die zur Definition von symmetrischen Potenzen, symmetrischen Polynomen und Konstruktionen der Invariantentheorie dienen; macht die permutionsinvariante Komponente explizit und berechenbar.

Umkehrung

Die komplementäre Operation ist die Alternierung (Antisymmetrisierung); statt gleichgewichtet zu mitteln, gewichtet man Permutationen mit ihrem Vorzeichen und extrahiert so die schiefsymmetrischen Komponenten.

Abgrenzung

Gilt für multilineare Objekte und Tensorpotenzen; erfordert Vorsicht über Ringen oder Feldern, in denen Fakultäten nicht invertierbar sind, und erhält nicht automatisch ordnungsabhängige algebraische Relationen.

Semantische Spannung

Ähnlich ist die Unterscheidung zwischen Symmetrisieren durch Summation und Symmetrisieren durch Diagonaleinschränkung — erstere ist eine Projektionsvorschrift, letztere eine Auswertungsoperation; sie stimmen bei multilinearen Tensorn zusammen, unterscheiden sich aber konzeptionell.

Synthese

Symmetrisierung ist die kanonische Durchschnittsprojektion, die die unter Permutation invarianten (symmetrischen) Anteile eines multilinearen Objekts extrahiert und so Elemente der symmetrischen Potenzen und Invarianten erzeugt.