Operación sobre un tensor o función multilínea que lo proyecta en su parte simétrica promediando sobre todas las permutaciones de las posiciones de entrada, produciendo un objeto invariante por permutar los argumentos.

Principio

Aplicar el operador S = (1/n!) ∑_{σ∈S_n} σ, donde σ permuta factores del tensor (o argumentos); en características donde n! es invertible esto es una proyección idempotente sobre el subespacio simétrico.

Demostración

Dado v⊗w en V⊗V, la simetrización da (v⊗w + w⊗v)/2, que representa el correspondiente elemento en Sym^2(V); aplicada a formas multilínea, produce formas multilíneas simétricas.

Aplicación incorrecta

Promediar con 1/n! falla en característica p que divide n!, porque n! puede ser cero, por lo que la media no es un proyector válido; asimismo, promediar solo sobre un subconjunto de permutaciones no produce verdadera simetría.

Consecuencia

Produce tensores o formas simétricas usados para definir potencias simétricas, polinomios simétricos y construcciones de teoría de invariantes; hace explícita la componente invariante por permutación y facilita su cálculo.

Inversión

La operación complementaria es la alternación (antisimetrización); en lugar de promediar uniformemente, se ponderan las permutaciones por su signo y se extraen las componentes antisimétricas.

Límite

Se aplica a objetos multilínea y potencias tensoriales; requiere cuidado sobre cuerpos o anillos donde las factoriales no son invertibles y no preserva relaciones algebraicas sensibles al orden.

Tensión semántica

Próxima a 'simetrizar por suma' frente a 'simetrizar mediante evaluación en la diagonal': la primera es una proyección por promediado, la segunda consiste en restringir a argumentos iguales; coinciden para tensores multilínea pero difieren operacionalmente.

Síntesis

La simetrización es la proyección canónica por promediado que extrae la componente invariante por permutación de un objeto multilínea, dando elementos de las potencias simétricas y posibilitando el estudio de invariantes ante reordenamientos de argumentos.